2006 Fiscal Year Annual Research Report
p進ディオファントス幾何学の手法でabc予想を解明する:周期予想経由の新考察
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16540044
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
平田 典子 (河野 典子) 日本大学, 理工学部, 教授 (90215195)
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| Keywords | abc予想 / p進楕円対数 / 指数方程式 / 単数方程式 / 指数方程式 / 対数一次形式 / 楕円対数一次形式 / p進楕円対数一次形式 |
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| Research Abstract |
1)abc予想に対して役立つp進対数一次形式について、本年は特に、楕円対数ではない通常の対数での評価の計算方法におけるKunrui Yuの改良を、楕円対数に対する場合にも適用できるかどうかを考えた。Kunrui Yuの新しいアイデアでは、ディリクレの時代の1次元格子での「数の幾何学」を用いている。楕円対数に関しては、2次元の格子を考えれば良い事が分かる。多少難しくなる点があって、適用に苦労したが、改良が可能であった。
2)指数方程式の解の個数の評価について:a、b、cを2以上の自然数として固定、それらの累乗を考える。aの累乗とbの累乗の和がcの累乗に等しいときに、指数部分の自然数を未知数とした方程式を考える。これを指数方程式と呼ぶ。この解の個数は有限個であることが知られているが、そればかりではなく、解の個数は実際には2の32乗個以下であることがわかる。これはF。Beukers-H。P。Schlickeweiによる単数方程式の結果の、単純な応用である。この結果をさらに改良することを試みた。改良の鍵は「超幾何法」と呼ばれるパデ近似である。このパデ近似を求めたM.A.Bennettの補題の再計算と、高さ評価式のより精密な変形から、知られている結果よりも良い評価が得られた。
3)(2)の考察において、今度は解の個数を下から評価することが出来ないかを考えた。大抵の場合、2変数単数方程式の解の個数は2個となることがEvertse-Gyory-Stewart-Tijdemanによって知られている。さらに、無限個の体が存在して、その体の元を係数に持つ2変数単数方程式の解の個数は、かならずある数よりも多くなることも知られている。この関数体版の証明を行うことができた。間もなく書き上げる予定である。
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