葉層に付随した錘構造と微分幾何学的性質との関係についての研究

2006 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16540050
• Research Institution: Iwate University
• Principal Investigator: 押切 源一 岩手大学, 教育学部, 教授 (70133931)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 沼田 稔 岩手大学, 教育学部, 教授 (50028255) ; 小宮山 晴夫 岩手大学, 教育学部, 助教授 (90042762) ; 川田 浩一 岩手大学, 教育学部, 助教授 (70271830) ; 宮井 秋男 岩手大学, 教育学部, 講師 (70003960)
• Keywords: 余次元1葉層多様体 / 葉層に付随した錘構造 / 平均曲率ベクトル場 / 平均曲率関数 / 平均曲率の安定性

Research Abstract

余次元1葉層の平均曲率ベクトル場についての特徴づけを試みた.「関数」と異なって「ベクトル場」は「方向」までもが指定されているため,平均曲率関数のような幾何学的な特徴づけが得られるかどうか,今の所わかっていない.葉層に横断的なベクトル場を1つ与えたとき,適当な関数をかけることによって,その「±」方向には平均曲率ベクトル場を実現出来ることを示し,これによって,葉層に横断的な一つのベクトル場を与えたときに,その関数倍によってかなり多くの平均曲率ベクトル場を実現出来ることが示せた.また,平均曲率ベクトル場になるようなベクトル場の特徴づけを定式化することも,一応は出来た.この特徴づけは,葉層に付随した錘構造と,Schweitzer-Walczakによって導入された部分空間を関連させることにより得られる.この特徴づけの幾何学的な意味や,特徴づけに現れる複雑な条件の緩和等に関しては,残念ながら,今回の研究では明らかにすることが出来なかった.ただ,上記の特徴づけはあまりにも複雑で応用が期待できないと思っていたが,平均曲率ベクトル場が葉層の摂動に対して安定な性質を持つことが,この特徴づけの応用として得られたことは,予想外の収穫だった.更に,上記の議論を「余次元1葉層」から「余次元1部分束」と「積分可能性」を除いても適用可能なことがわかった.今年度は残念ながら論文・著書等の成果として出版されたものは無かったが,現在,上記の内容の論文を準備中である.