リーマン面の退化の分裂について

2007 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16540062
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 高村 茂 Kyoto University, 大学院・理学研究科, 准教授 (20362436)
• Keywords: リーマン面の退化 / 分裂変形 / 特異点 / モノドロミー / 複素構造 / 複素曲面 / モジュライ空間 / テータ関数

Research Abstract

リーマン面の退化族の位相型は、特異ファイバーのまわりの位相モノドロミーにより完全に決定される(松本・モンテシノスの定理)。一方、リーマン面の退化族の分裂変形は、元の特異ファイバーの分裂および元の位相モノドロミーの分解を引き起こす。これらの幾何学的描写を、モース理論的立場から与えられないかということを考察した。つまり、モース理論におけるグラジェント・フローに対応するベクトル場を用いて、分裂変形に伴う特異ファイバーの分裂現象や位相モノドロミーの分解法則を体系的に記述できないかどうか研究を行った。具体的に言うと、元の位相モノドロミーを記述するに際し、円周上のベクトル場をリーマン面の退化族の全空間に持ち上げて積分することにより、位相モノドロミーをフローの観点から定めることができる。このフローを時間経過とともに動かして、分裂変形の全空間である複素3次元多様体に拡張し、位相モノドロミーの分解を理解しようという方針である。今のところ特異ファイバーが簡単な形をしている場合には、フローが拡張できることが分かったが、一般的な場合はベクトル場の分岐を詳しく研究することが必要で今後の重要な課題である。