2005 Fiscal Year Annual Research Report
Exoticホモロジー多様体の構成とQuinnindexの一般化
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16540064
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
小山 晃 静岡大学, 理学部, 教授 (40116158)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
菅原 邦雄 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (20093255)
宇野 勝博 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (70176717)
矢ヶ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (40191077)
服部 泰直 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20144553)
横井 勝弥 島根大学, 総合理工学部, 助教授 (90240184)
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| Keywords | コホモロジー群 / 積空間 / 対称積 / 位相多様体 / 埋蔵 |
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| Research Abstract |
課題の研究を進めるために一般的なn次元コンパクト距離空間がn個の1次元コンパクト距離空間の積空間に埋蔵できるか否かを考察した.正確には次のようなコホモロジー群の非自明な元の表現を求めることによって「埋蔵できるための必要条件」を記述した.現在この結果を中心とした論文は投稿中である.
定理:n個の1次元コンパクト距離空間の積空間の閉部分空間Xのn次元コホモロジー群H^n(X)が非自明ならば,n個の元a_1,a_2,…,a_n∈H^1(X)で,そのカップ積a_1∪a_2∪…∪a_n∈H^n(X)が非自明であるものが存在する.
したがって,n次元コンパクト距離空間Xがn個の1次元コンパクト距離空間の積空間に埋蔵できるならばH^1(X)の階数はn以上でなければならない.
またn次元位相多様体では各点の基本近傍系の境界はn-1次元球面であるように取れるが,その概念を本質的な写像の概念を用いて一般化し,n次元絡み多様体の概念を導入してその空間のクラスでは上記の定理を次のように改良できることを示した.
定理:局所連結なn次元コンパクト絡み多様体Xがn個の1次元コンパクト距離空間の積空間に埋蔵できるならばH^1(X)の階数はn以上でなければならない.
さらに積空間より複雑な構造をもつが基本的な積空間の一般化である対称積へ結果を拡張することに成功している.本質的に対称積のコホモロジー群が積構造を持つことを示し,上記の積空間の場合に帰着することを利用している.
定理:ある1次元コンパクト距離空間Yのn次対称積SP^n(Y)の閉部分空間Xのn次元コホモロジー群H^n(X)が非自明ならば,n個の元a_1,a_2,…,a_n ∈H^1(X)で,そのカップ積a_1∪a_2∪…∪a_n∈H^n(X)が非自明であるものが存在する.
したがって,n次元コンパクト距離空間Xがある1次元コンパクト距離空間のn次対称積に埋蔵できるならばH^1(X)の階数はn以上でなければならない.
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