2005 Fiscal Year Annual Research Report

多様体およびグラフの幾何構造、スペクトル、漸近解析の関連とその応用

Research Project

Project/Area Number	16540068
Research Institution	Okayama University
Principal Investigator	勝田篤岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (60183779)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	清原一吉岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (80153245) 田村英男岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (30022734) 島川和久岡山大学, 大学院自然科学研究科, 教授 (70109081) 田中直樹岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (00207119) 酒井隆岡山理科大学, 理学部, 教授 (70005809)
Keywords	逆問題 / スペクトル
Research Abstract	昨年度に引き続き、逆問題に関連する幾何学的再構成を行った。境界付リーマン多様体に対し、その境界から距離関数によるリーマン多様体の表現から内部の多様体の位相構造やリーマン構造を安定的に決定する問題は、熱方程式において熱容量の境界での測定から内部の熱容量の分布を推定する問題、境界付リーマン多様体上のラプラシアンのノイマン固有値および固有関数の境界値から内部のリーマン多様体が復元できるかを問ういわゆるゲルファントの逆問題、さらには波動方程式や拡散方程式、Maxwell方程式での逆問題等いろいろな所に関連している。 Ricci曲率のヘルダーノルム、平均曲率の一階微分のヘルダーノルム、直径の上界、単射半径の下界が与えられたリーマン多様体のクラスの中で元のリーマン多様体をGromov-Hausdorffの意味で近似する有限ネットの構成および境界距離関数のHausdorff距離の安定性についての結果を得た。方法はまず調和座標を用いてRicci方程式を表現し、その解の正則性から断面曲率、主曲率の評価を得た後、Sardの定理の証明に類似した測度論的な議論、比較三角形による局所的議論およびそれらを大域的に延長する議論によるものである。研究分担者は上記研究に関する討論の他に清原はリウビル多様体のカットローカスについて田村は散乱理論や一瀬とともに紙数積公式、田中は非線形半群、島川は配意空間のホモトピー論的研究、吉岡は位相空間の完備性酒井は距離関数のモース理論、竹内はp-ラプラシアンの固有値等について研究した。