特異指数べき型の非線形項をもつ準線形楕円型方程式の研究

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16540197
• Research Institution: The University of Tokushima
• Principal Investigator: 深貝 暢良 徳島大学, 工学部, 助教授 (90175563)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 成川 公昭 鳴門教育大学, 学校教育学部, 教授 (60116639) ; 伊藤 正幸 徳島大学, 総合科学部, 教授 (70136034) ; 香田 温人 徳島大学, 工学部, 助教授 (50116810)
• Keywords: 準線形 / 楕円型方程式 / 変分法 / 正値解の存在 / Sobolevの臨界指数 / Orlicz空間 / Orlicz-Sobolev空間 / concentration-compactness

Research Abstract

準線形退化楕円型方程式の正値解の存在についての研究である。この研究課題では、方程式の主要部がLaplacianまたはp-Laplacianの場合の理論を発展させて、主要部が0と∞で別々の漸近オーダーを持つときの考察を行っている。今年度は、全空間領域の上で与えられた方程式がSobolevの臨界指数べきの項を含む場合に、十分大きなパラメータλについて、非負非自明な解の存在を主張するものである。
1.Orlicz-Sobolev空間における変分法を適用した。一般のOrlicz空間ではノルムの値を具体的に求めることは困難とされるが、非線形項についての許容される範囲での仮定を導入することにより、変分計算に必要な積分値の評価をすることができた。
2.Lionsのconcentration-compactness Lemmaを充実させて、準線形方程式に適用できる形に補題の拡張変形を行うことができた。したがって、準線形方程式がSobolevの臨界指数べきの項を含む場合にも、それを用いてPalais-Smale列の収束性を論ずることが可能になった。
3.上記の準備ののち、部分列を抽出することにより、極限関数が方程式の非負値解となることが導かれる。さらに、それが非明解であることを述べるためには、パラメータλを十分大きくとって議論する必要があった。