2004 Fiscal Year Annual Research Report

Forrester予想とSelberg積分公式の一般化

Research Project

Project/Area Number	16540198
Research Institution	University of the Ryukyus
Principal Investigator	金子譲一琉球大学, 理学部, 教授 (10194911)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	加藤満生琉球大学, 教育学部, 教授 (50045043)
Keywords	Forrester予想 / Jack多項式 / Macdonald多項式 / ノルム公式 / Selberg型積分 / 一般化Jacobi多項式
Research Abstract	研究計画調書に述べたように、N_1=7の場合のForrester予想の成立を調べたが残念ながらまだ結論するに至っていない。我々の方法は、ある種の対称多項式をJack(あるいはMacdonald)多項式で展開したときその一部分の展開係数が消えることをMacdonaldの微分作用素を用いて示すのであるが、N_1=7になると予想されたことだがこの展開の項数が膨大となり、N_1が6以下の場合のように容易にはいかず、今のところ途中までで中断している。計算を続ける上での何らかの見通しを見いださない限りこのやり方でこれ以上すすむのは非常に難しい。ここでは現在取り組んでいるもうひとつのアプローチについて簡単に述べたい。Baker-Forrester-Dunklは最近の論文でForrester予想の特別な場合が大略次のようにして示されると主張している(詳細は未発表)。即ち非対称Jack多項式をその全ての変数のうちN_1変数に関してのみ交代化し残りの変数については対称化すればN_1変数の差積が得られる。一方非対称Jack多項式についてもノルム公式あるいはSelberg型積分は既知であるからこれを用いれば予想の特別な場合が従う。そこで非対称Jack多項式の替わりに(非対称)一般化Jacobi多項式を用いれば予想の完全な解決が得られるのではと考えるのは自然であろう。現在この方向に沿って、非対称一般化Jacobi多項式のノルム公式およびSelberg型積分について研究を行っている。