2006 Fiscal Year Annual Research Report
幾何学的特異空間における調和写像のディリクレ形式による解析
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16540201
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
桑江 一洋 熊本大学, 教育学部, 助教授 (80243814)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小倉 幸雄 熊本大学, 理工学部, 教授 (00037847)
塩谷 隆 熊本大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
大津 幸男 熊本大学, 数理学研究院, 助教授 (80233170)
町頭 義朗 熊本大学, 教育学部, 助教授 (00253584)
桑田 和正 熊本大学, 理学部, 講師 (30432032)
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| Keywords | ディリクレ形式 / 調和写像 / 劣調和関数 / 変分収束 / グロモフ・ハウスドルフ収束 / アレキサンドロ空間 / 加藤クラス / 熱核 |
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| Research Abstract |
平成18年度は以下の研究をおこなった。
1.平成17年度に引き続いて凸空間に値をとる写像に対してボン大学応用数学教室・教授・カール・セオドア・スツルム氏と共同でLiouville型定理の研究を行った。不変シグマ加法族が自明になる保存的なMarkov連鎖が与えられた空間において凸空間に値をとる写像に対し、自然な推移作用素が凸空間の重心の概念を経由して定義できる。この作用素で不変な写像を調和写像としたときに有界な調和写像が定値写像に限ることを示した。同様の内容を平成17年度実績報告でも報告済みであるが、前年までに問題となったKendall氏がリーマン多様体の枠組みで示した「究極のLiouville型定理」を離散時間の枠組みで完全に包含することに成功した。さらにKendall氏の枠組みでは扱えない空間、例えばCAT(0)-空間に値をとる自乗可積分写像など、への間の調和写像に対しても成立することが判用した。この改良は証明方法を確率論的なものからポテンシャル論的なものに変更することでなされた。この研究成果は数理解析研究所講究録「別冊」において論文として発表する予定である。
2.東北大学大学院理学研究科・教授・塩谷隆氏と共同でアレキサンドロフ空間においてリッチ曲率が下に有界の概念をビショップ・グロモフ不等式の形式で導入して、そのもとでラプラシアンの比較定理を得ることができた。特にリッチ曲率が非負のときに分裂定理が等長同形ではなく同相の形で成立することを示した。平成17年度実績報告において同様な結果が成立することを報告済みだが、その証明に不備があることが後に判明したため、平成18年度は主として証明の不備を改良することに費やされた。分裂定理が等長同形まで拡張可能かどうかはいまだ未解決である。
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Research Products
(6 results)
