| Research Abstract |
粘性双曲型保存則の方程式系の持つ非線形波の安定性の研究はひとつの中心的なトピックスである.その非線形波である粘性衝撃波,希薄波の安定性に関する研究課題が大きいものであった.上記の問題から派生して,2階消散型波動方程式の解が時間発展と共に拡散現象をもつことが観察されるようになった.この事実から,半線型消散型波動方程式の解の挙動が,対応する半線型熱方程式とそれと同様となることが期待される.
本年度の研究においては,初期値が遠方でゆっくり減衰し,従って可積分とはならない場合を考察した.半線形熱方程式のコーシー問題においては,初期値が遠方で減衰する率によって新たな臨界指数が現れ,LeeとNiは臨界,超臨界,劣臨界の場合にそれぞれ解の大域存在や有限時間内の爆発とその爆発時間などを示している.本研究においては,まず,半線形項が超臨界指数を持つ場合に,半線形熱方程式のコーシー問題の解の大域存在と解の漸近形を,熱方程式に特有の最大値原理を使うことなく証明した.その結果,同様の方法が,半線形消散型波動方程式のコーシー問題に対しても応用可能となり,空間次元が1,2,3の場合に解の大域存在と漸近形を求めた.その際に,本研究課題の中で研究されてきた消散型波動方程式に対する解表現の適切な分解が有効であった.得られた結果は,楢崎隆氏との共同研究として論文にまとめ,学術誌に投稿した.
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