2005 Fiscal Year Annual Research Report
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16540208
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| Research Institution | Shikoku University |
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Principal Investigator |
竹内 博 四国大学, 経営情報学部, 教授 (20197271)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
酒井 隆 岡山理科大学, 理学部, 教授 (70005809)
勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779)
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| Keywords | p-ラプラシアン / グラフ / p-harmonic morphism |
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| Research Abstract |
グラフG=(V, E)上のp-ラプラシアンΔ_p(2【less than or equal】p<∞)は頂点V上の関数uに対して
(Δ_pu)(x)=1/(m(x))Σ__<x-y>|u(y)-u(x)|^<p-2)(u(y)-u(x))として定義される。ここでx, y∈V, m(x)
はグラフの頂点xでの次数(xと接続する辺の数)を,x〜yは頂点xとyが接続されていることを表す。Δ_pu=0を満たすときuをp-harmonic functionと定義する。2つのグラフG_1=(V_1,E_1), G_2=(V_2,E_2)に対して上への写像ψ:V_1→V_2がp-harmonic morphismとはV_2上の頂点y=ψ(x)でのp-harmonic function fに対してf○ψがV_1上のxでのp-harmonic functionになるときと定義する。一方ψがhorizontal conformal mapは次の2つの条件が満たされるときと定義する。(a)z,x∈V_1,z〜xに対してψ(x)=ψ(z)またはψ(z)〜ψ(x)(b)y∈V_2 x∈ψ^<-1)(y),y'〜yに対し#{z∈ψ^<-1)(y'):z〜x}がy'によらず一定。このとき主張はp-harmonic morphismとhorizonntal conformal mapが同値となることが示される。証明はp=2の場合とほぼ同様に行なえる。頂点境界∂D={y【not a member of】D:x〜y, x∈D}として関数gが次を満たすときの解をG_D(x, y)とする。Δ_pg(x, y)={-1 x=y,0 x≠y, g(x, y)=0 x∈∂Dまたはy∈∂D。
領域Dを大きくしたときの極限G=lim__<n→∞>G_<B_n>(x)を考えGの評価として無限グラフの3【less than or equal】l【less than or equal】m(x)【less than or equal】kを満たす木に対しG(y, x)【greater than or equal】((k-1)^<1/(p-1)>)/((k-1)^<1/(p-1)>-1)(1/(k-1))^<p_x(y)/(p-1)>を得た。ここでρ_x(y)=d(x, y)は点x, yの距離を表す。
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