2006 Fiscal Year Annual Research Report
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16540208
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| Research Institution | Shikoku University |
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Principal Investigator |
竹内 博 四国大学, 経営情報学部, 教授 (20197271)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
酒井 隆 岡山理科大学, 理学部, 教授 (70005809)
勝田 篤 岡山大学, 理学部, 准教授 (60183779)
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| Keywords | 幾何学 / リーマン多様体 / p-調和関数 |
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| Research Abstract |
リーマン多様体上のp-ラプラシアン(2【less than or equal】p<∞)は多様体上の関数uに対して定義されるが、グラフG=(V,E)に対しても同様に定義することができる。
p=2の場合は調和関数の方程式を表し、(2乗)エネルギー汎関数の変分問題のオイラーラグランジュの微分方程式として特徴づけられる。p≠2のとき(p乗)エネルギー汎関数に対するオイラーラグランジュ微分方程式はp-調和関数を表し、一般に非線形の方程式となる。多様体がコンパクトのときは、非自明なp-調和関数は存在しないので、非コンパクト多様体に注目する。本研究課題はこの関数の挙動が、多様体およびグラフの構造とどう関係しているかを研究する。平成18年度においては熱方程式との関連について調べた。熱方程式による調和関数の存在は、その定常状態がちょうど調和関数になる。すなわち、時間が無限大にしたときこの解が存在するとき定常的となる。P-調和関数に関しても同じアプローチを適用するとp-調和関数の存在を示すことになる。特にp≠2のときに特有に現れる現象として、有限伝搬性がある。非自明解は一般に保障されてなく、調和関数の場合、非コンパクト多様体のとき非自明解が存在する多様体をnon-parabolicと定義する。この非存在に関する曲率条件も各種研究されている。一方p-調和関数においてもこの概念を拡張してp-non-parabolicが定義される。グラフ上においても同じアプローチが適用できる。ただ18年度中においてはこの拡張した概念での主だった成果は得られず19年度において現在研究継続中である。
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