2016 Fiscal Year Annual Research Report
低次元トポロジー、ブレイド群の一般化と４次元の結び目理論
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16F16793
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
鎌田 聖一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
DAMIANI CELESTE 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2016-11-07 – 2019-03-31
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| Keywords | トポロジー / 曲面結び目 / リボントーラス絡み目 / ループブレイド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
リボントーラス絡み目と呼ばれる４次元空間内の曲面がなす絡み目の研究を行った。ループブレイドを用いてリボントーラス絡み目を表す際に、どのようなブレイドの変形がリボントーラス絡み目のタイプを保存するかを調べるため、ループブレイドをさらに次元を１下げたweldedブレイドで表し、その変化を観察した。weldedブレイドでリボントーラス絡み目を表すことは、古典次元の結び目理論におけるAlexanderの定理に対応している。この研究では古典次元の結び目理論におけるMarkovの定理に対応する主張が成り立つことを目標としている。その際に、weldedブレイドの概念を拡張した「拡張weldedブレイド」を導入することが自然であることがわかった。拡張weldedブレイドは研究分担者である Celeste Damiani がこれまで研究を進めていたが、リボントーラス絡み目の「リバース」という操作を理解する上で、weldedブレイドの拡張は避けることができない自然なものであることが再認識された。拡張weldedブレイドに対応する結び目理論としてCeleste Damianiにより定義された「拡張welded絡み目」の概念があり、その不変量は今後の課題となる。
４次元球体内のリボン構造を伴ったアニュラスがなすタングル（リボンタングル）を用いたリボントーラス絡み目の分解において、アレクサンダー不変量を計算する方法について考察を行い、これまでに知られている結果を再確認し、今後の研究の準備を整えた。
平成28年11月に大阪市立大学で開催された研究集会「４次元トポロジー」、及び、平成29年1月に東京大学で開催された国際会議「The 12th East Asian School of Knots and Related Topics」で、研究成果の発表をCeleste Damianiが行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度はブレイドを用いてリボントーラス絡み目の研究を行うための手法を整えることが目標であり、準備段階として順調であった。予定していた研究集会でCeleste Damianiによる発表も行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
拡張weldedブレイドの次元をあげた拡張ループブレイド（または拡張リボンブレイド）の曲面ダイアグラムに関して、基本変形を見つけ、不変量の構成を試みる。それに関連して、リボンタングルについても不変量の研究を行う。
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