Quantum Topology of knots and 3-manifolds

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 16H02145
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: Ohtsuki Tomotada 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 金信 泰造 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819) ; 伊藤 哲也 京都大学, 理学研究科, 准教授 (00710790) ; 谷山 公規 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10247207) ; 藤原 耕二 京都大学, 理学研究科, 教授 (60229078) ; 逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902) ; 大山 淑之 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (80223981) ; 山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987) ; 茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978) ; 森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466) ; 玉木 大 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (10252058) ; 志摩 亜希子 東海大学, 理学部, 教授 (50317765)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 結び目 / 3次元多様体 / 不変量

Outline of Final Research Achievements

The volume conjecture relates the Kashaev invariant of knots and the hyperbolic volume, and it is an important conjecture which relates the quantum topology and the hyperbolic geometry. I showed that the volume conjecture holds for hyperbolic knots with up to 7 crossings. Further, "the volume conjecture for 3-manifolds" is proposed recently, and I showed that this conjecture holds for hyperbolic 3-manifolds obtained by integral surgery along the figure-eight knot.
Further, we hold the international conference "East Asian Conference on Geometric Topology" and the conferences "Intelligence of Low-dimensional Topology", "Mathematical Sciences of Knot" and "Topology Symposium".

Free Research Field

位相幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

幾何化定理により、3次元多様体の分類問題は、3次元双曲多様体の分類に帰着される。さらに、3次元双曲多様体の分類は、リー群PSL(2,C)のある種の離散部分群の分類に帰着されるが、しかし、その分類を実際に実行するのは困難である。
一方、量子トポロジーにおいて、最強の量子不変量であるLMO不変量がホモロジー球面を分類することが期待されている。体積予想を手がかりにして、双曲幾何と量子トポロジーを融合させることが、3次元多様体の分類問題の観点からも重要であるとおもわれる。