2018 Fiscal Year Annual Research Report
期待オイラー標数法の深化と実用化，および関連する数理の展開
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16H02792
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| Research Institution | The Institute of Statistical Mathematics |
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Principal Investigator |
栗木 哲 統計数理研究所, 数理・推論研究系, 教授 (90195545)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ウィシャート分布 / HGM法 / 特異モデル / クロネッカー標準形 / コピュラ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 非心実ウィシャート行列の最大固有値の分布は，多変量分散分析の検定の検出力の解析やMIMOにおけるSN比評価で必要となる．しかしながら，その分布関数の記述にはゾーナル多項式を拡張したある種の不変多項式が必要であり，数値的評価の方法は知られていない．本研究では，最大固有値分布を期待オイラー標数法で近似するという方針のもと，その数値計算の方法を検討した．特にHGM法 (Holonomic Gradient Method) の適用を試みた．(高山信毅, Yi Zhang との共同研究)
2. 特異点を持つ統計モデルは特異モデルとよばれ，そのモデルの解析にはオイラー標数法がしばしば用いられる．こここではサンプル数が少ないことに起因する特異性をもつ統計モデルの解析を行った．ここで扱ったモデルは分散共分散がクロネッカー積構造をもつガウスモデルである．サンプルサイズが2の場合には，マトリックスペンシルのクロネッカー標準形によってモデルが正準系に変換され，それを出発点として，最尤推定量の存在，一意的存在，非存在が決定されることを明らかにした．また計算の過程では，グレブナー基底計算が有用であることも分かった．(Mathias Drton との共同研究)
3. Bernstein コピュラを一般化する形で B-Spline コピュラを定義した．半無限区間に等間隔のノットを持つ B-Spline 関数のモーメントを陽の形であたえ，それを用いて B-Spline コピュラが取りうる相関の範囲を確定した．(Xiaoling Dou, Gwo Dong Lin, Donald Richarsとの共同研究)
以上に加えて， 応用数理全般を対象としたワークショップ「確率・ 統計・ 行列ワークショップ 彦根 2018」を 2018年10月24日(水)，25日(木)に滋賀大学データサイエンス学部で開催した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述の2つの研究成果のうち，項目1と項目3については結果を論文原稿の形にまとめ，arXiv に登録した．項目2については，既に一定の結果は得られているが，研究はシステム理論や概均質ベクトル空間理論との関連で予想外の広がりを見せはじめており，今後多くの側面からの結果が得られることが期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 分散共分散がクロネッカー積構造をもつガウスモデルについての研究を発展させる．いままでの研究で，システム理論や概均質ベクトル空間理論と関連性があることが明らかとなっている．またデータ行列をクロネッカー標準形に変形する操作は，統計学の文脈ではほとんど議論されていない．これらの方向性で，新しい分野を開拓したい．
2. 本年度手がつけられなかった課題として，統計量としてのオイラー標数・ミンコフスキー汎関数の解析の問題がある．これらは天文データ解析で標準的に用いられている統計量であるが，統計量としての性質はあまり明確に議論されていない．宇宙論の研究者である研究協力者と非ガウス性のもとでの統計量の期待値や，共分散関数の計算方法について検討する．
さらに昨年度，一昨年に引き続き，行列解析，確率，統計を横断する学際的な国内研究集会を開催する.
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Research Products
(3 results)
