2017 Fiscal Year Annual Research Report
Development of accurate algorithms for numerical linear algebra
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16H03917
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
荻田 武史 東京女子大学, 現代教養学部, 准教授 (00339615)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
尾崎 克久 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (90434282)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 高精度数値線形代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
対称系の固有値問題に対して、ニュートン法系統の2次収束性を持つ固有ベクトルの反復改良アルゴリズムを開発した。これによって、常に最良の近似解（固有値及び固有ベクトル）を得ることが可能な数値計算アルゴリズムの開発も可能となった。
対称系の固有値分解については、現在、ハウスホルダー変換による三重対角化を用いる方式が主流であり、それに基づいて様々な数値計算アルゴリズムが提案されているが、本研究における基本方針として、特定のアルゴリズムに依存しない、一般的な高精度化の方式を考え、汎用性を確保した。すなわち、解の初期値を既存の方式で求め、反復改良によって解の精度を改善する方式を考えた。
また、上記と並行して、提案アルゴリズムの効率化を高めるために、行列乗算の高精度計算に関する研究も継続して推進した。
特に、隣接浮動小数点丸めという性質（これは真値に対して、隣接する浮動小数点数のどちらか一方の数値結果）を満たす、非常に高信頼でかつ高速な行列積アルゴリズムを提案した。問題が良条件な場合、提案手法は近似計算の数倍程度の計算時間により結果を求められることを示した。
また、連立一次方程式や固有値問題に関して、高精度計算アルゴリズムを提案した場合、その厳密な検証法が必要になる。真の解が事前にわかる連立一次方程式、真の固有値（特異値）が事前にわかる行列の生成法について研究した。提案手法は連立一次方程式においては行列・ベクトル積のみ、固有値問題については行列積１回またはそれ以下の計算コストで連立一次方程式や行列を生成可能である。連立一次方程式に対するテスト問題の研究結果は論文として採録された。
さらに、上記の研究によって開発した固有値分解における新しい数値計算アルゴリズムをもとに、計算量の再定義を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り、順調に進展している。理由としては、研究実施計画における以下の目標を達成できたからである。
(1) 対称系の固有値問題に対して、係数行列の条件数に関わらず常に最良の近似解を得ることが可能な数値計算アルゴリズムについて研究する。
(2) 提案アルゴリズムの効率化を高めるために、行列乗算の高精度計算に関する研究を推進する。
具体的には、(1)については、実対称行列の固有値問題に対して、近似解（固有値、固有ベクトル）を求めるためのアルゴリズムに依存しない方式であり、かつ有力な数値計算アルゴリズムを活用することが可能である反復改良アルゴリズムを開発し、高精度な近似解を得ることが可能となったことが評価できる。また、(2)については、行列積の計算に対して最良に近い「隣接浮動小数点丸め」を達成する高速なアルゴリズムを開発し、良条件の場合には通常の近似計算の数倍程度の計算時間でそれが達成できることを数値実験によって確認できたことが評価できる。これらの研究成果を学会等で発表し、コメントのフィードバックや他の研究者との議論を踏まえた上で研究の質をさらに高めている。
このように、研究計画に沿って研究を推進できていることがわかる。
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| Strategy for Future Research Activity |
予定通り研究は推進されているため、今後も研究計画に沿って本研究を推進していく。具体的には、非対称行列の特異値問題に対して常に最良の近似解（特異値及び特異ベクトル）を得ることが可能な数値計算アルゴリズムを開発する。開発するアルゴリズムは、これまでに開発してきた対称系の固有値問題と同様に、ニュートン法系統の高い収束性を持つアルゴリズムを想定する。密行列に対する特異値分解では、現在、ハウスホルダー変換による二重対角化を経由する方式が主流である。それに対し、本研究の基本方針は、特定のアルゴリズムに依存しない、汎用的な高精度化のフレームワークを構築することである。そのため、解
の初期値を任意の既存の方式で与えることを想定し、反復改良によって解の精度を改善する方式を考える。
また、上記と並行して、提案アルゴリズムの効率化のため、行列積の高精度計算に関する研究も継続して推進する。
さらに、次年度が最終年度ということで、これまでに開発してきたアルゴリズムを統合した数値線形代数におけるアルゴリズムの統一的な体系を構築し、その体系が、非対称系の固有値問題等、他の様々な問題にも適用可能であることを示す。
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