2018 Fiscal Year Annual Research Report
Research on the coinvariant ring theory for hyperplane arrangements and the new developments of its representation and geometry
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16H03924
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
阿部 拓郎 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (50435971)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
沼田 泰英 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (00455685)
榎本 直也 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 准教授 (50565710)
吉永 正彦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (90467647)
村井 聡 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 准教授 (90570804)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 超平面配置 / Solomon-寺尾代数 / 複素鏡映配置 / 自由配置 / 多重自由配置 / 原始微分 / Hodge分解 / Weyl群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はSolomon-寺尾代数理論を発展させるための結果をいくつか残すことができた。その中でも特に重要な結果は、複素鏡映群に対応する複素鏡映配置の多重配置の代数構造の解明である。実鏡映配置、特にワイル配置の場合は斎藤恭司氏や寺尾宏明氏らにより深く研究がなされていたが、複素鏡映配置については統一的な研究はなされていなかった。その大きな理由は、実の場合に極めて強力な解析ツールであった斎藤の原始微分が、複素鏡映の場合にきちんと定式化されていない点にあった。近年この点が、Gerhard Roehrle氏らの研究により大きく発展したことを受け、吉永正彦氏、Roehrle氏及びChristian Stump氏らと、well-generatedな複素鏡映配置に良い重複度を載せた場合の自由性について研究を行った。これは二つのパートからなる。まず第一に、各超平面にその複素鏡映の位数だけ重複度を載せたものの周辺にある多重複素鏡映配置の自由性を特徴づけることに成功した。第二に、well-generatedな場合の複素鏡映配置に対する、斎藤のHodge分解の構成に成功した。これらの結果から、実の場合の結果で齋藤のHodge分解などにおいて、本質的になにが重要であるかが明確になった。
更にこの結果から、実鏡映配置を基礎として、イデアル配置のSolomon-寺尾代数と正則冪零ヘッセンベルグ多様体との間にコホモロジーのレベルで関係がついたことを踏まえれば、この複素鏡映配置に関する結果を用いることで、同様の関係が存在するクラスが複素レベルで発見されることが期待される。また、ワイル配置に対するSolomon-寺尾図式の幾何学的表現論的理解を、複素鏡映配置のレベルまであげるための基礎的な情報としても、本結果は重要な意味を持つ。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は二年目までの研究を受けて、理論を整備し今後の様々な方向性について議論をすることで、足場をしっかり固めることができた。特に6月には本研究費を用いて数理解析研究所及び九州大学で国際研究集会を開催し、そこで代数幾何的視点から自由性とベクトル束の分裂に関する議論を様々な研究者と行った。これによりSolomon-寺尾代数の完全交差性や強レフシェッツ性の研究の新しい基礎を築くことができた。レフシェッツ性については、村井聡氏、沼田泰英氏、前野俊昭氏らとともに議論を重ねており、自由配置の場合には常に強レフシェッツ性が成立するのでは、という予想を立てるところまで至っている。
また幾何学的表現論パートにおいては、Misha Feigin氏と、吉永正彦氏、榎本直也氏を交えて有理Cherednik代数と超平面配置の自由性及び表現論について深く議論する機会を得た。その結果、この関係は当初の想定より深く、より強い結果が従う可能性が示唆され、現在さらなる議論を進めている。ただしその結果として論文にまとめることに時間を想定より要しており、昨年度と比べると若干進捗が遅れたことは事実である。
更に鍛冶静雄氏ともヘッセンベルグ多様体の同変コホモロジー環の、Solomon-寺尾代数を用いた表示に関する研究も進展しており、これが完成すればSolomon-寺尾代数理論は更に強固なものとなる。
このように、極めて順調であった昨年度までと比べると取りまとめの点で若干の遅れがあるものの、研究自体は多数の進捗があるため、全体としては概ね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成31年度は、有理Cherednik代数と準不変式を用いた、多重ワイル配置の理解に全力を注ぐ。これは榎本直也氏、Misha Feigin氏及び吉永正彦氏と研究を進める。当初は、有理Cherednik代数と準不変式の理論から、寺尾宏明氏が証明した奇数定数重複度ワイル配置の自由性が再証明できると考えていたが、これが偶数定数重複度でも可能であることがほぼ確定した。更に定数重複度ワイル配置の上部構造に当たるCatalan配置及びShi配置にいたるまでも、有理Cherednik代数と準不変式の変形理論から、自由性が一気に証明できる可能性が高まった。これは全く知られていなかった新しい関係性であるため、本理論を集中的に研究し完成させたい。また逆に超平面配置パートから有理Cherednik代数と準不変式の理論へのフィードバックもいくつか構想しており、今まで全く知られていなかった関係が大量に発見されることで分野交流が推進され、結果として本研究の幾何学的表現論パートが大きく進展することが期待される。
更に前年度から引き続いて、Solomon-寺尾代数の強レフシェッツ性に関する研究を、村井聡氏、沼田泰英氏、前野俊昭氏らと進める。本年度はレフシェッツ性のような代数的条件に拘り過ぎず、数値的な現象からとらえてゆこうと考えている。即ち、強レフシェッツ性と関連のあるSolomon-寺尾代数のヒルベルト多項式の対称性を観察することから始め、レフシェッツ性を徐々に解析する。
更に本年度の複素鏡映配置に関する研究結果により、ワイル配置に対するSolomon-寺尾図式の幾何学的表現論的理解を、複素鏡映配置まで持ち上げて考察することの有用性が見えてきた。よって複素鏡映配置のレベルで考察することで、この図式の完全な理解を得ることを目指す。本研究は榎本直也氏、木村嘉之氏らとともに推進したい。
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