2019 Fiscal Year Annual Research Report
Research on the coinvariant ring theory for hyperplane arrangements and the new developments of its representation and geometry
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16H03924
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
阿部 拓郎 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (50435971)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
沼田 泰英 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (00455685)
榎本 直也 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 准教授 (50565710)
吉永 正彦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (90467647)
村井 聡 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (90570804)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 超平面配置 / Solomon-寺尾代数 / 超可解配置 / 二重点 / 特異点 / Sylvester-Gallaiの定理 / Dirac-Motzkin予想 / 自由配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度は超可解配置のSolomon-寺尾代数の研究において大きな進展を2つ得ることができた。以下詳述する。超可解配置は超平面配置の中でも代数的・位相幾何的・組合せ論的に、自由性・ファイバー型・モジュラー性など極めて良い性質を持つ配置である。この超可解配置のSolomon-寺尾代数や複体を調べることを目標とし、超可解配置に関する以下の2つの結果を得た。
一つ目は三次元超可解配置の本数の上限と特異点論的関係についての結果である。私の超可解配置の代数的な知見をフルに活かすことで、Dimca氏とともに三次元超可解配置が次数mのモジュラー点を保つ場合の本数の上限を与えることが出来た。これを用いて様々な特異点論的解析を行うとともに、Solomon-寺尾代数を取り扱う際の簡易化が見込めることとなった。
二つ目は複素数体上の三次元超可解配置におけるAnzis-Tohaneanu予想の解決である。これは有名なSylvester-Gallaiの定理、及びDirac-Motzkin予想の超可解配置版といえ、大きな結果である。具体的には複素射影平面中の超可解配置は二重点を直線の本数の半分以上持つことを、代数幾何学、特に自由配置の理論を巧妙に用いることでに証明した。これはAnzis-Tohaneanuが2016年に予想したものであった。組合せ論的アプローチが主だった二重点研究において、本結果は大きなブレイクスルーを与えるものである。特異点の情報の中で最もシンプルな二重点の情報が代数・自由性と関係しているという今回の発見は極めて重要で、この知見を用いることでSolomon-寺尾理論に新しいアプローチを行うことが可能となった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究をすすめる中で、Solomon-寺尾代数の構造の難解さが明らかになってきた。自由配置であってもいろいろな困難があるため、超可解配置という非常に構造が良い対象に集中した結果、本年度は極めて大きな進展を得ることが出来、結果としてAnzis-Tohaneanu予想を解決するとともに組み合わせ幾何の研究に超平面配置の代数という新しい視点を導入するという画期的な研究成果をもたらすことが出来た。これらは本研究計画に新たな視点を導入するとともに、研究目的達成に大きく寄与することが確実であり、大きな進展を得ることが出来たと言える。
他方、吉永正彦氏、榎本直也氏、Misha Feigin氏と進めているSolomon-寺尾代数と多重自由配置の有理Cherednik代数を用いた理解に関する結果の取りまとめには予想以上に時間を要している。今年度もハノーファーで吉永氏、Feigin氏と私が集い本結果に関する集中的な討議を行うことで、大きく進展を得てはいるが、研究が更に拡張していることもあり、なかなか取りまとめを完成させるに至っていない。しかしほぼ理論的には完成しているため、来年度には確実に取りまとめたい。
この二点及びこれまでの研究進捗状況が順調であったことを勘案して、進捗状況は概ね順調であると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは最終年度である2020年度には、吉永氏、榎本氏、Feigin氏と進めているSolomon-寺尾代数と多重自由配置の有理Cherednik代数を用いた理解に関する論文を書き上げる。多重配置と準不変式環、有理Cherednik代数との関連については完成しており、更にCatalan配置やShi配置と、準不変式環のq変形・離散化との関係もついているため、2020年度中には確実に書き上げる。ただし準不変式環のq変形・離散化については議論が難解で精密な扱いが要求されるため、慎重に内容を討議して研究をすすめる。
更に上述の有理Cherednik代数を用いたSolomon-寺尾代数と複体の理解を、初年度に得た正則冪零Hessenberg多様体の幾何及びコホモロジー論と関連させることで、これらの三つの対象を統一的に理解する枠組みを形成することを狙う。その端緒となるのは、村井氏らが近年証明した、A型正則冪零Hessenberg多様体の単項式基底の存在に関連した結果である。この証明は明らかにSolomon-寺尾代数と関連があるため、この証明を精査し、一般のタイプへと拡張させたうえで、上記有理Cherednik代数の観点と融合することで、Solomon-寺尾理論を完成へと近づけることを目指す。
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