2016 Fiscal Year Annual Research Report
Computational study of algebraic geometry
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16H03926
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
島田 伊知朗 広島大学, 理学研究科, 教授 (10235616)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 亮 広島大学, 理学研究科, 教授 (10252420)
木村 俊一 広島大学, 理学研究科, 教授 (10284150)
高橋 宣能 広島大学, 理学研究科, 准教授 (60301298)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | K3曲面 / エンリケス曲面 / 格子理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
K3曲面の自己同型群の計算アルゴリズム，および格子の genus に関する各種計算アルゴリズムを計算代数ソフトウェアGAPにより実装した．これにより計算のスピードが格段に向上した．
応用として，Miranda-Morrison 理論を用いることにより，組合せ論的データを固定した楕円K3曲面のモジュライの連結成分の決定をおこなった．この計算のためには，p-adic な discriminant form の自己同型を p-adic な格子の自己同型に持ち上げるアルゴリズム，および p-adic な格子の自己同型の spinor norm を計算するアルゴリズムが必要である．有理数体上の問題と異なり，p進数を扱うにあたっては丸め誤差が発生するために誤差の評価を行わなくてはいけない．
もう一つの応用として，general な quartic Hessian 曲面に付随したエンリケス曲面 Y の自己同型群を完全に決定し，その基本領域をもとめ，generic なエンリケス曲面 Z の自己同型群との比較をおこなった．さらに，エンリケス曲面 Y 上の楕円ファイブレーションおよび RDP configurations を自己同型の作用を modulo して完全に決定した．
さらに generic なエンリケス曲面 Z の自己同型群の生成元を求め，エントロピーに関する実験を行った，
2017年3月に東北学院大学工学部多賀城キャンパスにおいて研究集会「Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics 2017」を開催し Alex Degtyarev，Michael Loenne, B. Guerville-Balle, 白根竹人を招聘して，講演をしていただいた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
MapleおよびC言語による計算からGAPによる計算への移行がほぼ完全に終了したので，アルゴリズムの開発に要する時間および計算の実行時間が大幅に減少した．この移行は，本研究の申請時には全く想定していなかったことであるが，Alex Degtyarev 教授の強いアドヴァイスにより，踏み切る事ができた．移行にはほぼ半年かかったが，その結果，より大規模な計算が可能となり，上記のように具体的な結果を得る事ができた．さらにエンリケス曲面の自己同型群に関しては，散発的な例を計算するだけではなくモジュライ空間上で系統的な研究を行える可能性もでてきた．
研究集会「Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics 2017」は多くの参加者（約50名）を集め，代数幾何学と位相幾何学の接点において活発な議論が行われた．とくにAlex Degtyarev 教授およびMichael Loenne 教授によるそれぞれ2回の連続講演は大変興味深いものであった．Alex Degtyarev 教授の講演は，singular K3曲面 の smooth model の定義方程式を具体的に書くという新しい問題を提起し，Michael Loenne 教授の講演は，結び目理論の研究者に新しい視点をもたらした．
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| Strategy for Future Research Activity |
K3曲面とエンリケス曲面の格子理論的アルゴリズムは，GAP 上で必要な道具立てがほぼ完成したので，とくにエンリケス曲面に関してモジュライ空間上で系統的な研究をおこなう．再現性と検証可能性を保証するために，計算結果をデータの内容の解説とともに研究代表者の web-page において公開することが必要であるが，計算結果が膨大なものとなる事が予想されるため，保存するべきデータの構造を前もって十分入念に設計しておく事が必要である，
自己同型群が現在までのところ計算不可能であるいくつかの重要なK3曲面が存在する．（たとえば複素数体上のFermat 4次曲面．）この自己同型群を複数の CPU をもつ計算機上で分散計算を行うことにより計算する方法を考える．
また，複素多様体のホモトピー型についての計算を開始する．GAP の計算アルゴリズムは，群論的および組合せ論的構造に対しては非常に高速であり，多くのパッケージが準備されているが，例えば複素数の近似的数値計算についてのパッケージは著しく貧弱である．これは，例えば Zariski-van Kampen の計算方法を具体例な平面曲線に対して実行する場合に大きな問題となる．そのため，SageMath をもちいて，さらに大規模な研究環境を構築することを考えている．
引き続き，できるだけ多くの研究集会に出席し，代数幾何学の研究における計算機の有用性に関して宣伝をおこなう．
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[Presentation] Dimer models with group actions2016
Author(s)
Akira Ishii
Organizer
Categorical and analytic invariants in Algebraic geometry 3
Place of Presentation
Higher School of Economics, Moscow, Russia
Year and Date
2016-09-12
Int'l Joint Research / Invited
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