2018 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03932
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
本多 宣博 東京工業大学, 理学院, 教授 (60311809)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ツイスター空間 / 二重被覆 / デルペッツォ曲面 / 自己双対計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き、4次元コンパクト多様体上の自己双対計量に付随するツイスター空間について、特に代数的（すなわちMoishezon）なものに対して構造解析を行った。ツイスター空間上には、基本系とよばれる線形系があり、それは反標準系の半分（つまり2倍すると反標準系）になっている。基本系は、ツイスター空間の実構造と両立しており、構造を調べる際にもっとも基本的な線形系である。本年度は、基本系が（線形系として）1次元になっているような代数的ツイスター空間の分類定理を完成させた。
以下、以上の内容を詳しく述べる。上記のようなツイスター空間は、その多重基本写像（すなわち基本系の何倍かによって得られる有理写像）の構造により2通りに分類されることがこれまでの研究代表者による研究でわかっている。そしてそのうちの一方についてはやはり研究代表者による以前の研究で構造がよく理解されていた。もう一方は、多重基本写像が二重被覆になる場合である。前年度までの研究によりこのようなツイスター空間は、分岐因子の構造により4つのタイプに分類されることがわかっていた。これら4つのタイプのツイスター空間は、ある種の退化によりお互い変形でつながっており、もっともgenericな2つの場合については、昨年度までの研究で、分岐因子の定義式が決定できていた。本年度は、残った二種類のツイスター空間について、定義方程式を決定した。これにより、冒頭の分類定理が完成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分類定理の完成のためには、多重基本系が特別な可約元をもつことを証明することが鍵となる。これを証明するにあたり、4つのタイプすべてに通用する証明を見出すことができた。また、証明の副産物として、デルペッツォ曲面の退化に付随して得られる不変量（のようなもの）を取り出すことができたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
2点考えられる。一つは、基本系が0次元以下になっているような代数的ツイスター空間が存在しないことを示すことである。これができれば、代数的ツイスター空間の分類が完成する。
もう一つは、上記の不変量（のようなもの）を具体的に決定することである。これにより、当該の二重被覆写像を引き起こす多重基本系が完全に確定する。
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