2016 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03935
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
吉川 謙一 京都大学, 理学研究科, 教授 (20242810)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 解析的捩率 / 判別式 / Calabi-Yau多様体 / BCOV不変量 / 保型形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）アーベル的３次元Calabi-Yau軌道体に対するスピン版BCOV不変量を構成し、それがモジュライ空間上で充たす微分方程式を決定した。特別な場合としてBorcea-Voisin軌道体、3次曲面に付随するCalabi-Yau軌道体、およびミラー５次軌道体に対して、スピン版BCOV不変量を決定した。Borcea-Voisin軌道体および3次曲面に付随するCalabi-Yau軌道体に対して、スピン版BCOV不変量が単独のBorcherds積とDedekind η関数で記述されることがわかった。
（２）対合付きK3曲面のスピン版解析的捩率不変量を記述するBorcherds積が、二つの例外的場合を除き不変量から自然な方法で一意的に決定できることを示した。この研究は東京工業大学の馬昭平准教授と共同で行った。
（３）被覆空間が偶数次元Calabi-Yau多様体および正則シンプレクティック多様体のそれぞれの場合に、Enriques多様体の解析的捩率不変量を構成し、その解析的捩率不変量がモジュライ空間において充す微分方程式を求めた。応用として、高次元Enriques多様体の族が完備代数曲線上に与えられた場合、その族の周期写像は定数写像となり、従って族のファイバーの複素構造は変形しないことが示された。
（４）良い特異点（1/4(1,1)型の２次元商特異点）しか持たない場合に、対数的Enriques曲面の解析的捩率不変量の構成を行い、その不変量をモジュライ空間上の関数として求めた。この研究はカリフォルニア大学サンタバーバラ校のX.Dai教授と行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）3次元Calabi-Yau軌道体のBCOV不変量がモジュライ空間上で充す微分方程式が求まった。荷重付き射影空間のCalabi-Yau超曲面はCalabi-Yau軌道体なので、このクラスのCalabi-Yau軌道体のBCOV不変量をHilbert概型上で書き下すための基礎が（退化挙動の決定を残して）ある程度整った。また、荷重付き射影空間のCalabi-Yau超曲面の場合に、BCOV不変量をCalabi-Yau軌道体とそのクレパント解消とで比較するための基礎が（やはり退化挙動の比較を残して）整った。
（２）偶数次元Enriques多様体の解析的捩率不変量を構成し、その不変量がモジュライ空間上で充たす微分方程式を決定できた。また、その代数幾何への応用も得られた。
（３）対数的Enriques曲面が良い特異点しか持たない場合に、解析的捩率不変量を定義し、それをモジュライ空間上の関数として記述できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）Calabi-Yau軌道体のBCOV不変量の退化挙動を調べる。Calabi-Yau多様体に対しては原理的にはBCOV不変量の退化挙動が決定可能であるが、その際には代数多様体の１変数退化族に対する半安定還元定理が重要な役割を果たした。従って、軌道体の１変数退化族に対する半安定還元定理に相当する定理が必要になると予想されるが、そもそもこの設定での半安定還元定理がどの様なものであるべきかすら明らかでない。そのために軌道体の１変数退化族に対する退化の標準形を考察する。
（２）良い特異点を持たない対数的Enriques曲面に対して解析的捩率不変量を定義し、良い特異点を持つ場合に定義された解析的捩率不変量と比較する。商特異点以外の特異点を持つCalabi-Yau多様体に対しても、BCOV不変量が定義可能か考察する。そのためには商特異点以外の特異点を持つ代数多様体に対するQuillen計量の理論が必要になるので、その様な場合へのQuillen計量の理論の拡張を考える。
（３）Picard数20の対合付きK3曲面の解析的捩率不変量のCMサイクル上での平均値と、対応するBorcherds積に対するSchoferの公式を比較する。この手法により、Picard数20の対合付きK3曲面とCM楕円曲線から構成されるBorcea-Voisin多様体に対するBCOV不変量の値の計算をChowla-Selberg公式に帰着させることを目論む。
（４）これまでに得られた結果を論文にまとめ、プレプリントとして公開する。
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