2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16H03935
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
吉川 謙一 京都大学, 理学研究科, 教授 (20242810)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 解析的捩率 / エンリケス多様体 / モジュライ空間 / 保型形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
偶数次元カラビ・ヤウ多様体または超ケーラー多様体の商多様体で、正則シンプレクティック形式と正則体積形式を許容しないコンパクトなケーラー多様体をエンリケス多様体と呼ぶ。不分岐な被覆空間がカラビ・ヤウ多様体であるか超ケーラー多様体であるかにより、エンリケス多様体の型が定まる。昨年度に引き続き、本年度もエンリケス多様体の解析的捩率不変量を研究した。特に、この不変量が定めるモジュライ空間上の関数を詳細に調べ、次の結果を得た。
（１）エンリケス多様体のモジュライ空間は正次元のコンパクト複素部分空間を許容しない事を示した。また、モジュライ空間の１次元ベッチ数の消滅という仮定の下で、エンリケス多様体のモジュライ空間の準アフィン性を示した。超ケーラー型の場合、正則自己同型に関する適当な仮定の下にエンリケス多様体のモジュライ空間の準アフィン性を示した。以上はエンリケス曲面のモジュライ空間の準アフィン性を示したボルチャーズの定理の高次元への拡張を与える。
（２）超ケーラー型エンリケス多様体のモジュライ空間は（１）と同様の仮定の下に直交型モジュラー多様体のザリスキー開集合になる。この時、解析的捩率不変量はモジュライ空間上で零点を持たない保型形式のピーターソンノルムである事を示した。これにより、ボルチャーズΦ-関数の超ケーラー型エンリケス多様体における類似が構成された。
（３）カラビ・ヤウ型エンリケス多様体の例として、2g+1次元射影空間の中でg+1個の２次超曲面の完全交叉として定まるカラビ・ヤウ多様体の固定点自由対合による商を考察し、その解析的捩率不変量を定義方程式系の終結式とポアンカレ留数形式により表示した。特に、このカラビ・ヤウ多様体が超楕円曲線のヤコビ多様体に関連する場合、解析的捩率不変量が超楕円曲線のテータ定数で与えられる事を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度はエンリケス多様体の解析的捩率不変量の研究に注力したので、３次元カラビ・ヤウ多様体のBCOV不変量に関しては大きな進展は得られなかった。しかしながら、エンリケス多様体の解析的捩率不変量については新展開があり、全体として見れば研究は概ね順調に進んでいると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に引き続き、エンリケス多様体の解析的捩率不変量に関する研究を中心的に行う予定であり、特に超ケーラー型エンリケス多様体のモジュライ空間の上に構成された保型形式の性質の研究に取り組む予定である。私は超ケーラー型エンリケス多様体から得られる保型形式が鏡映的であり、さらに楕円モジュラー形式のボルチャーズ持ち上げになっているのではないかと予想している。これまでに計算できた例を調べる限り、実際にこの予想通りになっている。この予想は超ケーラー多様体のボービル・ボゴモロフ・藤木格子の構造解析に応用があると思われるので、この不変量の研究に注力する価値は充分にあると思われる。また、この新しい解析的捩率不変量を用いて３次元エンリケス・カラビ・ヤウ多様体の場合と同様に、高次元カラビ・ヤウ多様体のBCOV不変量が構成されるのではないかと期待される。この課題も今後研究すべきBCOV不変量に関する新しい方向であり、暫く研究を行う予定である。
新しい不変量の研究と並行して、３次元カラビ・ヤウ多様体や軌道体のBCOV不変量の明示公式の計算や、対数的エンリケス曲面の解析的捩率不変量の研究も当然ながら継続する予定である。最近の特異カラビ・ヤウ多様体上のリッチ平坦計量に関する研究の進展の応用として、結節点を許容する３次元カラビ・ヤウ多様体にBCOV不変量が拡張されるのではないかと期待される。この課題についても時間が取れれば今後研究を行いたいと考えている。
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