2018 Fiscal Year Annual Research Report
Development and Extension of Discrete Integrable Geometry
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16H03941
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
梶原 健司 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40268115)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
増田 哲 青山学院大学, 理工学部, 教授 (00335457)
太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
廣瀬 三平 芝浦工業大学, デザイン工学部, 助教 (20743230)
井ノ口 順一 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / 離散微分幾何 / ソリトン方程式 / 離散曲面 / 離散曲線 / 幾何学的形状生成 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 離散曲線・曲面論とその変形理論：空間離散曲線の等周等距離変形理論を完成させた（論文の査読に異例の時間がかかっている）．相似幾何における空間曲線の変形理論を構築し，mKdV-Burgers方程式による変形とその進行波解，特にLame函数による厳密解が定める曲線の族を対数型美的曲線の空間曲線への拡張として考察した．また，相似幾何における空間曲線とユークリッド幾何における定曲率空間曲線の対応関係を発見した．
(2)離散正則函数の理論：六角格子上の離散冪函数をABS分類のQ1, H1方程式が乗っている 4-cubeから導出することに成功し，同時に2変数ガルニエ系のベックルント変換からも導出した．これを用いて，Appelの超幾何函数で表されるガルニエ系の超幾何τ函数による離散冪函数の明示公式を構築した．
(3)曲線・曲面の離散化モデル構築：対数型美的曲線の相似幾何による可積分離散化の理論を構築し，可積分変形の進行波解としての定式化と変分原理による定式化で特徴付けることに成功した．相似幾何による定式化ではセグメント間の角を一定としセグメント長を制御して形状を統制するが，デザイン上の要求から変曲点をもつ離散曲線を生成するため，離散曲率円対応を利用してユークリッド幾何による離散化を構築し，実装した．また，平面弾性曲線によるフェアリングの離散化を行って実装し，建築設計の研究者と共同で，瓦の形状の特徴付けにこの手法を応用した．さらに，曲線短縮方程式の離散モデルとして数値的に安定で，かつ大域的な性質をよく保存した差分方程式を考察した．
(4) 曲面や界面の高精度数値解析手法：昨年土までに開発した高精度数値解析手法を応用して，植物の根による吸収効果が入った土壌中の水浸透モデルを考察し，さまざまな境界条件の下で現実の現象によく一致する高速かつ安定な数値モデルを構築した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実施計画はほぼ達成できている．唯一，空間離散曲線の等周等距離変形の理論の発表が遅れているが，これは論文の査読プロセスに異例な時間（2年近く）を要しており，そこでの査読結果を受けないと続編の執筆方針が固まらないためである．既に結果は得られているので，研究計画そのものの遅れではない．また，等積アフィン幾何やミンコフスキー平面における平面曲線の変形理論など，ユークリッド幾何とは異なる群作用をもつ幾何における理論の構築が予想以上に進んでいる．さらに，長年の難問であった六角格子上の離散冪函数の特徴付けについに最終的な結果を出し，背後にガルニエ系の構造が見出されたことは意義が大変大きい．対数型美的曲線の空間曲線，また曲面への拡張の研究は順調に進んでおり，クライン幾何による幾何学的形状設計の典型例として，次の展開のシーズとなることが期待される．離散平面弾性曲線による平面離散曲線の近似アルゴリズムの実装とその建築への応用など，新しい展開も見られる．
なお，代表者を組織委員調として可積分系分野の主要な国際研究集会SIDE13を11月12-16日に福岡市で開催し，22ヶ国から142名の参加者を得て成功裡に終了した．
以上のことから，本研究課題は順調に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は最終年度であり，空間離散曲線の等周変形理論，相似幾何における空間曲線の変形理論，対数型美的曲線の空間曲線への拡張，六角格子上の離散冪函数などについて結果を取りまとめて論文を発表する．また，ユークリッド幾何における擬球曲面の相似幾何類似と美的曲面，相似幾何における極小曲面，離散曲線短縮方程式，土壌の水浸透モデルに関する研究を進める．さらに，得られた数学的な成果を基盤に，理論を深め横に広げつつ，他分野と協働して本格的な応用研究につなげていく方向にも研究を進める．特に建築構造，意匠設計，造船，折紙工学などの研究者との連携を進め，幾何学的形状生成を基盤とした新しい設計など，社会的にインパクトのある応用研究にも着手する．
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