2018 Fiscal Year Annual Research Report
自己駆動系の集団運動に対する数理モデリングとその数理解析
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16H03949
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
長山 雅晴 北海道大学, 電子科学研究所, 教授 (20314289)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小俣 正朗 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20214223)
中村 健一 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (40293120)
Ginder Elliott 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (30648217)
中田 聡 広島大学, 理学研究科, 教授 (50217741)
北畑 裕之 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (20378532)
田中 晋平 広島大学, 総合科学研究科, 准教授 (40379897)
末松 信彦 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (80542274)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 数理モデリング / 計算機援用分岐解析 / 数値シミュレーション / 自己組織化 / 界面科学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
生物系には，多数の独立した個体が集団として協調的に運動し，機能を発現する例が見られる．このような生物の集団運動のメカニズムを解明するために，非生命自己駆動系の集団運動に対する数理モデル化を行い，数理解析と実験解析の相補的研究によって，集団運動の発現機構およびそのパターン形成のメカニズムを明らかにすることが研究の主題であり，個別の現象を含んだより一般的な普遍性を持つ数理モデルの構築をも目的として研究を推進している．
2018年度は，液滴の集合と離散を繰り返す運動を再現するための数理モデルを構築した．この数理モデルは会合体生成を含む化学反応―粒子運動モデルとなっている．この数理モデルから液滴の集合運動に関する本質的な相互作用を明らかにする研究を進めてきた．この数理モデルの数値計算結果から，横毛管相互作用による集合効果よりも，気水界面近傍でのSDS濃度勾配が重要であることが示唆された．この結果は，これまで信じられてきた横毛管力よりも化学反応によって生じる濃度勾配が本指摘であることを示唆した．しかしながら，この数理モデルは集合と離散を繰り返す現象を完全に再現ことができないため，2019年度は数理モデルを改良することに全力を挙げる．
また，統一した自走粒子運動の数理モデルを解析するための，反応拡散ー粒子モデルに対する数値分岐計算ソフトの開発をおこなった．この計算ソフトは非常に強力であり，１粒子モデルの解析においてもこれまでに知られていなかった分岐現象を発見することに成功した．さらに，２粒子モデルに見られる不規則運動が，周期倍分岐現象から生じる場合と周期解のトーラス分岐から生じる場合があることを示した． そして，この数理モデルに対して，非対称回転運動解の存在・非存在を示すことができた．この結果は，数理モデリングの可否を判断する非常に明確な結果となっている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究計画の1つの目的である液滴集団の集合運動のメカニズムに示唆を与えることについては，集合効果が気水界面近傍でのSDS濃度勾配であることを示唆することができた．これは研究計画の進捗状況として極めて順調であると判断できる．しかしながら，実験を完全に再現するには至っておらず，最終年度にむけて数理モデルを改良していく必要が生じた．自己駆動系においては，自己駆動粒子の非対応回転運動解の存在・非存在を示すことができた．この結果から得られる非存在条件は，実験結果と比較することが可能であり，数理モデルの成否を問うことができるようになった．その結果，一部の運動メカニズムは現在の単純な数理モデルからは再現されない可能性が高まった．そのため，今後は流体相互作用を考慮にいれたより現象に則した数理モデルの構築の必要性が明らかになった．このような結果はこれまでの研究でほとんど得られてないため，数理モデリングの中で数学が果たす役割が非常に重要であることを示した結果であり，自己駆動系に対する数理解析は大きく前進している．さらに，数値分岐計算ソフトが完成したので，最終年度に分岐構造の視点から自己駆動粒子モデルに見られる普遍的な性質を明らかにすることが可能な状況となった．この計算方法では化学反応を伴った数理モデルに対しても適用可能であり集合運動の分岐理論的解釈も可能ではないかと考えられる．以上のことから，当初の研究計画と比較して概ね順調であると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，2018年度開発した粒子運動モデルに対する数値分岐計算ソフトを用いて，粒子運動モデルの解構造とその安定性解析を行う．それと同時に，液滴の集団運動のより再現性の高い数理モデル構築を目指す．液滴の集合と離散を繰り返す運動の再現を行い，集合運動の数理的メカニズムを解明する．
2粒子の運動を再現する数理モデルについて理論から非対称回転解の存在条件として表面張力関数の性質が与えられたが，その条件は実験から示された表面張力関数の条件と異なっており，これまでの数理モデルでは不十分であることが明らかになった．2019年度は，2018年度に構築した流体効果を取り入れた数理モデルに対して分岐数値計算から非対称回転解の存在を示唆する．また，２粒子系の運動に対する数理解析結果を基盤として，多粒子系に対する集団運動の出現機構を数値分岐計算から明らかにし，実験によりその解析結果を検証する．
流体効果付き数理モデルに対して，2粒子の対称回転運動解の存在証明とその安定性解析に取り組む．多粒子系のおける玉突き現象や渋滞現象の存在を示すために，多粒子系の対称回転運動解の存在とその安定性解析を行う．これからの解析から，多粒子系集団運動の普遍的メカニズムを明らかにする．
2018年度までにサリチル酸エチル液滴の自己組織的な集団運動（特に，集合と離散を繰り返す現象）を再現する数理モデルを構築し，集合現象が横毛管現象ではない可能性を示唆したが，実験検証によって多くの問題点が新たに発見された．2019年度は実験によって明らかになった数理モデルの問題点を克服する新しい数理モデルを構築し，実験メンバーと共同で横毛管力の有無が液滴の離合を繰り返す自己組織的な集団運動にどのように依存しているのか明らかにする．さらに，数値分岐計算ソフトウエアを援用して，集団運動の普遍的メカニズムを明らかにする．
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