2016 Fiscal Year Annual Research Report
有限要素法に基づく精度保証付き数値計算の高度化に関する研究
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16H03950
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
小林 健太 一橋大学, 大学院商学研究科, 准教授 (60432902)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
劉 雪峰 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (50571220)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 補間誤差評価 / 固有値問題 / 有限要素法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
精度保証付き数値計算の基盤として重要な補間誤差解析についての研究では、四面体上の高次Lagrange補間誤差について、射影外接半径という幾何学的な量を定義することにより、四面体の形状に関わらず適用可能な誤差評価を得ることができました。これは、今までに知られている誤差評価が、四面体の形状に制限が必要であったのに比べると、画期的な誤差評価であると言えます。また、三角形上の（非適合）Crouzeix-Raviart補間について新しい誤差評価を得ました。さらに、2次Lagrange補間誤差評価について、誤差定数の精密な評価方法を開発しました。
固有値解析の分野においては、Stokes作用素の固有値問題について、divergence-freeの条件を上手く処理することにより、精度保証付き固有値の厳密な評価に成功しました。
精度保証付き数値計算の応用面については、無限次元Newton法に基づく精度保証付き数値計算アルゴリズムIN-Linzを提案しました。また、Navier-Stokes方程式に特別な外力項を課したKolmogorov問題に対する非自明解の解の検証に成功しました。さらに、放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算について研究し、生成作用素が時刻によって変化する発展作用素を利用する方法を考案しました。発展作用素を利用することにより、高精度な解の検証ができるようになり、空間2次元上に定義された半線形放物型方程式に対して解の精度保証付き数値計算に成功しました。
関連する研究として、有界領域上のラプラシアンについてのHadamard変分について、有名なGarabedian-Schiferの公式を拡張することに成功しました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題において、初年度である平成28年度は、研究代表者および研究分担者がそれぞれの研究を進めることとしていました。
小林健太（代表者）・土屋卓也（分担者）による補間誤差解析およびその数値計算については、四面体要素上のLagrange補間誤差評価について非常に一般的な評価を得ることに成功しました。また、非適合補間の誤差評価についてもいくつか結果を得ています。劉雪峰（分担者）による固有値評価についても、Stokes作用素の固有値など、応用上も重要な問題について結果が出ています。さらに、渡部善隆（分担者）によりNavier-Stokes方程式の解について、高安亮紀（分担者）により放物型方程式の解について、精度保証付き数値計算の新しい手法が開発されています。
以上のように、当初の研究計画と現状を比較して、研究はおおむね順調に進展していると言えます。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度においては、平成28年度までに得られた研究代表者および研究分担者の研究成果を互いにフィードバックすることで研究を発展させていく段階に入ります。具体的には、小林・土屋・高安は、補間誤差評価についてさらに研究を進め、それらの結果を用いることで、渡部は流体方程式など、高安は放物型方程式などの、有限要素法を用いた非線形問題の精度保証付き数値計算への応用を研究します。渡部・高安は逆に、応用上、どのような形の誤差評価が望ましいかを小林・土屋・高安にフィードバックします。劉は引き続き固有値問題についての研究を進展させ、重調和方程式や空間3次元の方程式、または非凸な領域における固有値問題などの研究に取り組みます。補間誤差評価は、ある意味で無限次元固有値問題と考えることもできますので、劉の研究結果を、特に非適合補間の誤差評価に応用して、小林・土屋・高安の補間誤差評価についての研究にフィードバックします。
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[Presentation] Verified numerical computations for blow-up solutions of ODEs2016
Author(s)
Akitoshi Takayasu, Kaname Matsue, Takiko Sasaki, Kazuaki Tanaka, Makoto Mizuguchi, Shin'ichi Oishi
Organizer
17th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics (SCAN 2016)
Place of Presentation
Uppsala University, Sweden
Year and Date
2016-09-26 – 2016-09-26
Int'l Joint Research
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