2019 Fiscal Year Annual Research Report
有限要素法に基づく精度保証付き数値計算の高度化に関する研究
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16H03950
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
劉 雪峰 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (50571220)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 有限要素法 / 誤差評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度においては、主に、非適合有限要素法の誤差評価とその精度保証付き数値計算への応用について研究を行った。具体的には、まずは2次元のCrouzeix-Raviart有限要素法の研究を行った。適合有限要素法においては、有限要素法の誤差が補間誤差で押さえられるという著しい性質があるため、補間誤差評価さえ得られれば有限要素法の誤差評価は比較的容易であるのだが、非適合有限要素法においてはそのような都合の良い性質が成り立たないため、誤差評価の導出がやや困難である。しかし我々は、Raviart-Thomas有限要素法の誤差評価を介在させることで非適合補間の最も簡単なケースであるCrouzeix-Raviart有限要素法の誤差評価に成功した。この誤差評価は、三角形要素の形状に制限がないという点においても非常に画期的である。また、空間次元が3次元のCrouzeix-Raviart有限要素法の誤差評価にも成功した。
有限要素法の精度保証の結果を非線形方程式に応用する上では、楕円型線形作用素の評価が重要になってくるが、その方面においては、2階楕円型線形作用素の可逆性と逆作用素ノルム評価に取り組み、ラプラシアンに対する構成的誤差評価と有限要素法の誤差評価を媒介にすることで従来の検証アルゴリズムの高効率化に成功した。
有限要素法を用いない精度保証付き数値計算についても進展があった。非線形熱方程式の時間変数を複素数に拡張した放物型方程式に対して、昨年度までに考案した精度保証付き数値計算を実行し、非線形熱方程式の分岐特異性の存在について計算機援用証明に成功した。さらに、複素平面上の経路上に解析接続した際に、非線形熱方程式の解が大域存在する事を、Lyapunov-Perronの方法の応用により計算機援用証明することに成功した。
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| Research Progress Status |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和元年度が最終年度であるため、記入しない。
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