2019 Fiscal Year Annual Research Report
New development of algebraic geometry viewed from theoretical physics
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16H06335
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森脇 淳 京都大学, 理学研究科, 教授 (70191062)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中島 啓 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (00201666)
望月 拓郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971)
立川 裕二 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (10639587)
吉川 謙一 京都大学, 理学研究科, 教授 (20242810)
入谷 寛 京都大学, 理学研究科, 教授 (20448400)
尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
向井 茂 京都大学, 数理解析研究所, 特任教授 (80115641)
並河 良典 京都大学, 理学研究科, 教授 (80228080)
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| Project Period (FY) |
2016-05-31 – 2021-03-31
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| Keywords | 代数多様体 / ゲージ理論 / 数論多様体 / シンプレクティック多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まずはゲージ理論についてであるが，分担者（副代表）の中島は，Weekesとの共同研究において，3次元超対称性箙ゲージ理論のクーロン枝の定義を，重み付き箙ゲージ理論の場合に拡張した．この新しい定義により，ADE型のみならずBCFG型のアファイン・グラスマン多様体の一般化された横断片をクーロン枝として実現した．また，Gyenge, Nemethi, Szendroi による単純特異点のヒルベルト概型のオイラー数に関する予想を解決した．
次に算術的多様体の理論についてであるが，研究代表の森脇は，本科研費の一つの目標でもあったアデリック曲線上のアラケロフ幾何の基礎理論の構築し，それを一つの本としてまとめた．スプリンガーのLecture Notes in Mathematics から出版した．本は４５０ページに及ぶもので基礎理論としては十分なものになった．応用として中井・Moishezon の判定法のアデリック曲線上への一般化等がある．それ以外に，自明な絶対値をもつ体上定義された曲線の交点理論の確立があげられる．
分担者の並河は，べき零軌道の普遍被覆に付随したシンプレクテック特異点のQ-分解端末化の具体的な構成法を研究し，特に，古典型のリー環に対しては，Q-分解末端化の構成のアルゴリズムを完全に決定した．さらに，一般の半単純リー環に対して，Q-分解末端化の個数の具体的な明示公式を得ることに成功した．
分担者の吉川は，高次元Enriques多様体の解析的捩率不変量を構成し，様々な場合に保型性を示めすことに成功した．また，共同研究の成果として，対数的Enriques曲面の解析的捩率不変量を構成し，それがBorcherds積のPeterssonノルムで与えられる事を示した．さらに，j-不変量の差がBorcherds Φ-関数により因数分解される事も示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表の森脇は，長年の課題であったアデリック曲線上のアラケロフ幾何の基礎理論の構築を完成し，４５０ページに及ぶ本としてまとめ，スプリンガーのLecture Notes in Mathematics にその成果を出版した．分担者（副代表）の中島は，Gyenge, Nemethi, Szendroi による単純特異点のヒルベルト概型のオイラー数に関する予想を解決した．分担者の望月は，3次元トーラス上のモノポールと楕円曲線上の差分加群の間の対応について，ひねりのある場合に一般化した他，ホロノミックD加群の圏からenhanced ind-sheafの圏へのde Rham関手の像の特徴付けに関して、subanalytic関数についての議論を分離して証明をわかりやすいものにした．さらに，調和束の射影的な写像による順像に関するDonagi-Pantev-Simpsonによる公式を，ファイバーの次元が一般の場合に拡張した．分担者の入谷は，Abouzaid, Ganatra, Sheridanとの共同研究で，Batyrev ミラー対に対するガンマ予想を直線束の場合に拡張した．分担者の尾高は，Morgan-Shalenコンパクト化の非アルキメデス幾何的な版の基礎理論を作り，大島芳樹氏との以前の共同研究の一部をBerkovich幾何学の言葉で言い換えた．前年度に続いて極端(extremal)なEnriques曲面やCoble曲面を分類しそれらのmod 3還元を調べた．分担者の向井は，5次元射影空間内で３つの基本対称式（1,2,3次）で定義される完全交叉K3曲面(Reid sextic)のmod p還元を研究し，悪還元(p=2,3,5,有理2重点しかもたない）の極小特異点解消の有限素体上の自己同型群を決定した．すべては書き切れないが，コロナ禍にも関わらず，おおむね順調に進展していると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
コロナ禍であるため，拠点としての国際学術交流を図るのは非常に難しい状況であったが，Zoom等オンラインの活用により，ある程度は拠点としての機能は維持できたと考えている．さらに個々人の研究成果の発展については，最終年度に大きな実りが期待できる．以下，個々人の研究計画をで簡潔に記述する．
代表者の森脇は，アデリック曲線上のアラケロフ幾何の更なる拡張を目指す．具体的にはリーマン・ロッホ型の定理が最終目標である．分担者の中島は，Muthiahとの共同研究で，アファイン・リー環における幾何学的佐武対応に関して，交叉コホモロジーの原点における余茎を表現論的に特徴付けることを計画している．分担者の向井は，上野・CampanaのCoble曲面，標数3のFermat型4次曲面，標数２のJacobian Kummer曲面等の自己同型群に関する研究を完成させる．分担者の入谷は，トーリック軌道体とは限らないより一般の多様体について，双有理変換の下で量子コホモロジーがどのように変化するか，導来圏の半直交分解やガンマ整構造の観点からさらに調べていく．また，より一般の代数多様体の退化族に対してトロピカル幾何を用いてその周期の漸近挙動を計算する方法を開発していく．分担者の尾高は，大島氏との共同研究におけるK3曲面の崩壊理論とそれに関わる代数幾何学的ないし非アルキメデス幾何学的な面の基礎理論の更なる精密化と発展に専念し，さらにFano多様体やそれに近い代数多様体のK安定性に関して最近の進展の別の理解を考える．分担者の並河は，「シンプレクティック特異点には、かならず良い C^*-作用が入る」という Kaledin 予想 についての研究を進める．分担者の望月は，Q. Li氏との共同研究で、コンパクトとは限らないリーマン面上の有理型な特異性を持ち無限遠では完備なToda型調和束の分類の研究を行う．
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