2016 Fiscal Year Annual Research Report
New development of mathematical theory of turbulence by collaboration of the nonlinear analysis and computational fluid dynamics
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16H06339
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
金田 行雄 愛知工業大学, 工学部, 教授 (10107691)
三浦 英之 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (20431497)
芳松 克則 名古屋大学, 未来材料・システム研究所, 准教授 (70377802)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70507954)
隠居 良行 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80243913)
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| Project Period (FY) |
2016-05-31 – 2021-03-31
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| Keywords | Navier-Stokes 方程式 / Keller-Segel 方程式系 / エネルギー不等式 / 自己相似解 / 渦度 / Liouville 型定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 非定常および定常Navier-Stokes 方程式の調和解析学的研究：３次元空間内の有限個の閉曲面で囲まれる多重連結領域における定常Navier-Stokes 方程式の非斉次境界値問題に対して，可解性と安定性について論じた．特に与えられた境界値が一般化された流量条件を満たす場合に考察し，領域の調和ベクトル場に関係するある変分不等式を満たせば可解であることを証明した．この結果は，Leray-Fujita の不等式による既存の存在定理をすべて含むものである．安定性に関しては，主流が剛体からの摂動であれば，大きな流れであっても漸近安定であることを示した．また，境界がコンパクトではい一般の非有界領域において，通常のLp-空間とは異なる新たな~Lp-空間を導入し，Helmholtz 分解の一般化とStokes方程式の最大正則性定理を確立した．応用として，任意のL2-初期データに対して強エネルギー不等式をみたす乱流解を構成した．
2.非圧縮性粘性流体中における走化性方程式系の適切性：n 次元ユークリッド空間Rn において，Keller-Segel 方程式系とNavier-Stokes 方程式の双方が混合した場合について考察し，小さな初期データに対して時間大域的軟解の存在，一意性およびその時間無限大における漸近挙動を証明した．解のクラスとしては，スケール不変な函数空間におけるものであり，特に弱Lp-空間が基礎となっている．応用として，斉次函数である初期データに対する自己相似解の存在が得られた．
3.3次元空間における定常Navier-Stoes方程式におけるLiouville型定理：3次元空間においてDirichlet 積分有限の範囲で，定常Navier-Stokes 方程式の解のアプリオリ評価を，同積分と同じスケールを有する渦度ベクトルの無限遠方の挙動によって確立した．その応用として，渦度が無限遠方で距離の5/3乗よりも早い減衰を示すならば，自明解に限るというLiouvelle型定理を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究成果として，17年度には3編以上の論文が当該分野で評価の高い専門雑誌に掲載されている．また国際研究集会を開催するなど，本研究が数学解析分野の情報発信源となっていることがうかがえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究集会においてより多くの成果を挙げるため 国内研究者を定期的に早稲田大と名古屋大に招聘し，綿密な研究連絡をとる．実際，以下の様な研究組織班を構成し，本課題の研究分担者が責任者となる．
① 非線形波動分散型方程式研究班（担当：久保）：end point Strichartz's estimate とI-method の研究をおこなう．
② 実関数論研究班（担当：小薗，隠居）： Besov空間、Triebel-Lizorkin空間における積公式を基礎に，流体力学の基礎方程式を研究する．流体特有の非線形項の構造とそれに適した関数空間の選択の相関について考察する．更に線形化方程式に対する最大正則性を用いて，これらの関数空間における非線形発展方程式である流体力学の基礎方程式の新たな研究を開始する
平成30年度はこの分野の世界的権威であるAmann (スイス），R.Farwig（独）両教授を招聘する．国内からは清水教授（京大）に専門知識の提供を依頼する．
③ 乱流の統計理論と数理解析研究班（担当： 金田，芳松）：本研究の課題である流体力学の基礎方程式の数 学理論を現場の流体力学への展開を目指す．さらに，流体力学の種々のモデルから数学に新たに研究テーマを与えるものをより厳密に定式化する．乱流のダイナミックスに内在する数理構造をナビエ・ストークス方程式の解析的な解と直接数値シミュレーション（DNS）データとの比較検証を行うことによって解明する．
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