2016 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
16J00889
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
榎園 誠 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
|
| Keywords | ファイバー曲面 / 局所符号数 / 平面曲線 / 超曲面特異点 / スロープ / モジュライ空間 / 代数曲面 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はファイバー曲面のスロープや局所不変量に関するいくつかの研究を行った。
一つ目は、安定曲線のモジュライ空間上の有効因子に対し、それに付随する局所符号数を定義することにより、種数2のファイバー曲面や種数3の非超楕円的なファイバー曲面で従来より知られていた局所符号数とは異なるものを構成することが出来た。局所符号数は元々トポロジーの分野で研究されたものであり、それが代数曲面論と結びついて豊かな研究対象となっている。今回新たに構成した局所符号数は代数幾何的に構成されたものであり、トポロジーとの関わりについてさらなる進展が望まれる。
二つ目は、一般ファイバーが非特異平面曲線であるファイバー曲面（以下、平面曲線束と呼ぶ）に対しスロープの下限を決定し、堀川指数を定義してスロープ等式を確立した。応用として、2次元超曲面特異点に対しダーフィー型の不等式を得ることができ、2次元超曲面特異点の広大なクラスに対しダーフィーの強予想が成り立つことを示せた。この不等式は現在まで知られている2次元超曲面特異点に対する不等式の中で最良のものであり、ファイバー曲面の不変量の研究の特異点論への応用として価値のあるものだと思われる。またトポロジーへの応用として、平面曲線束のスロープ等式から定義される局所符号数が久野氏が構成したマイヤー関数から定義される局所符号数と一致することが示せた。
これらの結果はプレプリントにまとめ、来年度には投稿する予定である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度はファイバー曲面の不変量について研究する中で、思わぬ形で特異点論などとの関わりを発見し、ファイバー曲面の理論の応用という面で研究が大きく進展した。また当初の研究予定であったファイバー曲面のスロープに関する研究も、平面曲線束のスロープ等式を確立するなど十分の研究結果を導くことが出来た。
|
| Strategy for Future Research Activity |
一般ファイバーがモジュライの意味で一般であるファイバー曲面のスロープの研究は代数曲面論において重要であるが、偶数種数ではあまり進んでいない。今後の研究方針として、偶数種数で比較的種数が小さい場合にこのようなファイバー曲面に対するスロープ等式の確立を目指す。
また、今年度の平面曲線束の研究の高次元化を目指す。つまり一般ファイバーが超曲面でるファイバー多様体に対し、スロープ等式のような不変量の間のある種の等式を確立を目指す。
|
