2016 Fiscal Year Annual Research Report
Isotopy invariants of surface knots
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16J01183
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
石川 勝巳 京都大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | カンドル / 曲面結び目 / 不変量 / 対称空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
16年度には大きく分けて2つの研究を行ったが、その1つ目は、15年度（修士課程時）に行った曲面結び目のカンドルコサイクル不変量（QCI）のケーブル化公式についての研究の完成である。15年度の研究では限られたカンドルの場合について、ケーブル化した曲面結び目のQCIが元の曲面結び目に対するQCIで記述できることを示していたが、一般の場合については分かっていなかった。そこで16年度の研究では（従来のものとは異なる）曲面結び目に対する新しいカンドルホモトピー不変量を構成し、それを用いることで一般の場合についてもケーブル化公式が記述できることを証明した。
その後、16年度2つ目の研究として、smooth quandle理論の基礎付けに取り組んだ。smooth quandleとは多様体に滑らかなカンドルの構造を入れたもので、topological quandleの一種であり、また対称空間の一般化ということもできる。smooth quandleそれ自体はごく自然に定義されるものであり、そこから得られる不変量についても興味があるが、どのような例があるのか、また、Lie環のような局所構造は定義されるのか、などといった基本的な問題についてすら研究がなされてこなかった。そこでまずその分類問題に取り組み、推移的で連結なsmooth quandleについて、（内部）自己同型群がLie群を成すことを証明した。このことから、これらのカンドルは等質空間にLie群の自己同型を用いて演算を定義したものに同型であることがわかり、この結果を用いて1、2次元カンドルの具体的な分類も与えた。また証明の過程で、smooth quandleの局所構造は（一定の仮定を満たす）Lie環とその部分Lie環および自己同型という3つ組によって与えられるということもわかり、上記に挙げた2つの問題に対し大まかな解答を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画において初年度の目標として、曲面結び目のカンドル2-コサイクル不変量や3コサイクル不変量・シャドーコサイクル不変量などを統括するホモトピー不変量を構成することを挙げていたが、実際16年度構成したホモトピー不変量は前2つの不変量に対し普遍性を持つ。シャドーコサイクル不変量に対しては普遍性を持たないものの、これに対しては従来のホモトピー不変量が既に普遍性を持っていることや、当初予定していなかったsmooth quandleについての研究が進められたことを併せて総合的に考えれば、「おおむね順調」な進展が得られたと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
16年度の研究で明らかになったsmooth quandleの局所構造を参考に、「量子カンドル」のようなものが構成できないか、と考えている。より具体的には、既にラックの量子化のようなことを考えた研究があるようなので、それを見つつ、smooth quandleの局所構造を変形したものを得ることを試みたい。
また現在（曲面）結び目の基本バイカンドルと基本カンドルの関係について研究を始めており、そちらについても研究を進めていきたい。
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