2017 Fiscal Year Annual Research Report
幾何学的不変式論および確率論的手法を用いたケーラー・リッチソリトンの研究
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16J01211
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高橋 良輔 東北大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | ケーラー・アインシュタイン計量 / 放物型偏微分方程式 / 幾何学的不変式論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究で中心的なものは，新しい放物型フローによるKahler-Einstein (KE)計量の研究である（Tristan C. Collins氏，久本智之氏との共同研究）．我々はこの新しいフローに「逆Monge-Ampere flow」という名前を付けた．成果として，定理1: canonically polarized manifold上の逆Monge-Ampere flowのKE計量への滑らかな収束，定理2: Fano manifold上の逆Monge-Ampere flowの時間大域解存在と，KE計量の存在の仮定下におけるflowのKE計量への弱収束，定理3: toric Fano多様体上の逆Monge-Ampere flowを用いたoptimal destabilizerの構成，という3つの定理を得ることができた．
定理1ではKE計量の存在・一意性を仮定しない．したがって，定理1はCalabi予想の別証明を与えている．
定理3は逆Monge-Ampere flowの極限挙動が，optimalな多様体の退化を生み出すと主張しており，ある意味でKE計量の一般化とも思える．定理3はK-不安定なFano多様体を研究する上で新しい研究手法を提示するものであり，今後の発展が期待できる．
本研究によって得られた成果は論文としてまとめ，現在投稿中である．また，国内・国外の大学セミナー，研究集会などで発表を行った．今後も積極的に発表を行っていきたいと考えている．その他，情報収集目的に研究集会へ参加したり，研究に必要な技術を習得するために勉強会を行った．また，標準計量の初学者向けに2日間にわたるショートレクチャーを行い，参加者との研究上の交流も行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
逆Monge-Ampere flowの時間大域解存在を証明するためには，最大値原理による議論だけでは不十分であり，研究当初は一般に大域解を持たないと予想していた．しかし，最先端の多重ポテンシャル論とKolodziej型の振幅評価を組み合わせることにより，この困難を上手く乗り越えることができた．これは期待以上の大きな進展である．
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| Strategy for Future Research Activity |
Fano多様体上における逆Monge-Ampere flowの収束は弱収束までしか証明できていないため，滑らかな収束を証明することが優先課題である．次に，ソリトン解を許容しない場合に，多様体がどのような特異計量を許容するか，そして，フローの極限挙動とこの特異計量の関係を調べることが次の大きな課題となる．
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