2018 Fiscal Year Annual Research Report
結び目、力学系及び一般化された岩澤理論の三位一体的研究
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16J03575
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
丹下 稜斗 九州大学, 数理学府, 特別研究員(DC1)
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2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | 数論的位相幾何学 / 結び目理論 / 岩澤理論 / ねじれAlexander不変量 / L-関数 / Selmer群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
素数と結び目の類似に基づく，数論と３次元位相幾何学の新しい類似の枠組みである，数論的位相幾何学について研究している．特に，一般化された岩澤理論と結び目理論の関係について，力学的な視点も含めて追究している．
森下昌紀氏，北山貴裕氏，寺嶋郁二氏との共同研究において，数論でのGalois 表現の変形理論をもとに導入した結び目群の表現の普遍変形に付随するL-関数の性質を調べ，特にtwist knot に対しては幾何的性質であるDehn surgery との関係を示すことができた．さらに，数論でのSelmer 群の類似をもとに，結び目群の表現に付随するSelmer 群を導入し，具体的な計算方法を与え，最も簡単な双曲結び目である８の字結び目のホロノミー表現に対して非自明となる例を構成することができた．また，この他の結び目や高次元の表現に対する具体的計算をもとに，我々の導入したL-関数は結び目理論でのPorti による不変量と関わることを予想することができ，数論でのL-不変量の結び目理論での類似や，逆に結び目理論での双曲体積の数論での類似について考察することができた．
結び目群の表現に付随する局所系係数ホモロジー群の増大公式について，すでに知られているSilver--Williams らによる力学系を用いた結果を，結び目群の二次の表現に付随するねじれAlexander 不変量と数論で扱われるノルムを用いることによって拡張することを考察した．高次の表現についてもPorti による不変量が関係することを考察した．
植木潤氏との共同研究において，L^2-Alexander torsion のp-進類似について考察し，Deninger のp-進Mahler 測度を用いた関係や双曲体積の数論での類似の方針を立てた．
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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