2016 Fiscal Year Annual Research Report
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16J05569
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
今野 北斗 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | ゲージ理論 / Seiberg-Witten理論 / 4次元トポロジー / 随伴不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Seiberg-Witten理論を用いて，spin c 閉4次元多様体の新たな不変量の定式化およびその非自明性の証明を行った．この不変量は，与えられた4次元多様体に埋め込まれた曲面であって，随伴不等式と呼ばれる種数の下からの評価式を破るようなもの全てからなる単体的複体の上のコホモロジー類として定式化される．この単体的複体は2次元トポロジーにおける曲線複体のある種の類似であり，随伴不等式を破る曲面たちの幾何学的交叉の情報を組み込んだものである．この単体的複体をパラメータ空間とするSeiberg-Witten方程式の族を考察することで，spin c 4次元多様体の不変量が定義される．この新しい不変量が非自明になるような例を，Seiberg-Witten方程式のモジュライ空間の形式的次元が負になるようなspin c 4次元多様体，したがって通常のSeiberg-Witten不変量が消えているようなspin c 4次元多様体に対して構成した．さらにこの4次元多様体は，正スカラー曲率を許容するようなものであり，したがってその上の任意のspin c構造に対してSeiberg-Witten不変量やその精密化のBauer-Furuta不変量が消えてしまうようなものである．この非自明性を用いることで，通常のSeiberg-Witten不変量やBauer-Furuta不変量ではアプローチの手段がないような4次元多様体に対して，その中に埋め込まれる曲面たちの配位に制約を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
随伴不等式を破る複数の曲面たちとSeiberg-Witten方程式の高次元の族との間に系統だった関係を見いだすことができる可能性について，報告者の修士論文で既にその兆候が見られたが，この関係が4次元多様体の新たな不変量とその非自明性として定式化されるというのは当初の予想を超えた成果であった．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に定式化された不変量のK理論版の構成をひとつの目標とする．また，Seiberg-Witten方程式の高次元の族の研究の新たな展開として，4次元多様体の微分同相の組に対する不変量の定式化およびその応用が現在進行中である．現時点で正スカラー曲率を持つ計量全体の空間のトポロジーへの応用が得られつつある．純粋にトポロジカルな応用をも得るために，この不変量の安定コホモトピー版の定式化を行い，期待される性質を持つことの証明およびこの不変量が非自明になる具体例の構成を行う．
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