2017 Fiscal Year Annual Research Report
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16J06813
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
島本 直弥 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| Keywords | 多重旗多様体の軌道分解 / 射影空間 / 配置空間 / 実球的多様体 / 対称性の破れ作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
旗多様体G/Pの，Gの部分群Hによる軌道分解については，表現の分岐則など様々な研究の応用に用いることができ，以前から研究されてきた．特に，簡約群Gの多重旗多様体(G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m)の，Gの対角作用による軌道分解は，対応する星形箙の表現の同型類の分類とも関連している．Magyar-Weyman-Zelevinskyは，Gを標数0の代数閉体上の一般線形群とした時，軌道が有限個であるならばmは3以下であることを証明し，またその場合に起動が有限個になる放物型部分群(P_1, P_2, ... , P_m)の組の分類，そして軌道が有限個になる場合の軌道空間の具体的な記述を与えた．
この分類から漏れる，軌道が無限個になるケースについて軌道分解のようすを具体的に記述し，観察するのが本研究の主題であった．昨年度までは，GをA型簡約群，P_1, P_2, ... , P_mを全て最高ウェイトに対応する極大放物型部分群とした時についての表現論の言葉を用いて軌道を記述し，また軌道空間の位相についても考察した．
本年は，前年度の結果を一般の標数0の体に一般化し，さらに箙の表現論の言葉を極力使わずに射影空間の言葉のみを用いて説明できるように，またA型だけでなくB，C，D型への応用も期待できるよう体系化し，実際にC型(シンプレクティック群)の場合についての軌道分解の記述も行い，それらについて研究発表を行った．また，表現論的な分野については，これらの結果を用い，多重旗多様体上のH(今でいえば対角部分群)不変な微分作用素の構成について考察した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初は，前年度に得られた一般線形群G=GLに対して多重旗多様体(G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m)の，Gの対角作用による軌道分解の具体的に記述を用い，Gの直積群の表現(Gの表現のテンソル積)から対角部分群の表現への対称性破れ作用素の具体的構成を試みるのが本年度の目標であった．
しかしむしろ実際には本年度は，この軌道分解の具体的記述の表現論的な応用よりもむしろ，この軌道分解そのものについての幾何的な性質，内部構造に着目した研究を行った．
そのため，まず本年度は軌道分解の具体的記述の体系化・一般化に重きを置いた研究内容となり，事実，前年度の一般線形群G=GLの結果をシンプレクティック群G=Spの場合などに結果を一般化し，これを多重旗多様体の軌道分解としてはとらえずに，射影空間の直積の軌道分解(ベクトルの配置関係)の問題とみなすことによって体系化するという結果を得る方向に研究が進んだ．
また，このシンプレクティック群の場合の結果を観察することにより，両側剰余類diag(G)＼(G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m)の位相について観察するヒントを得た．
ゆえに当初の目標とはかけ離れた結果ではあるものの，一定の進捗を得たと考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは(G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m)の対角部分群による軌道分解の具体的記述について，A型，C型について考察した前年度までの結果を受け，B, D型の場合についても具体的記述を試みる．さらに，前年度C型についての結果を得たことによって，A型の場合との関連(それぞれの旗多様体，群などの間の自然な写像について，軌道分解の記述に用いた完全代表系の具体的表示とのcompatibilityなど)を体系的に調べることができるようになったことを受け，B, D型についても同様の結果を得られるか観察する．
また，(G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m)の対角部分群による軌道分解についての研究については，一般化を進めるにつれてより煩雑になる面も否定できないため，先述した問題に加えて並行して，まったく別の側面から多重旗多様体の軌道分解についても研究を進める．
一例として，対称対(G,G')に対して，多重旗多様体G/P×G'/P'(PおよびP'はそれぞれの極小放物型部分群)に対して，G'の対角部分群による軌道分解を考える．
この軌道の有限性と表現論(特に，Gの既約表現とG'の既約表現との関係)との関連については小林-大島，さらに実際に軌道が有限になる対称対(G,G')の分類は小林-松木によってなされている．また，その内(G,G')=(O(n+1),O(n))の場合についてはその軌道分解の記述を用い，Gの表現からG'の表現への対称性の破れ作用素を構成している．このように，この軌道分解の具体的表示は表現論に応用があると考えられる．
だが小林-松木で分類されたもののうち，具体的な軌道分解が得られているものは少ない．そこで，その具体的記述を試みるのが本年度の次なる方策となる．
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