2016 Fiscal Year Research-status Report
行列と超幾何級数に関連した代数的組合せ論とその周辺
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16K05060
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| Research Institution | Wakayama University |
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Principal Investigator |
田川 裕之 和歌山大学, 教育学部, 教授 (80283943)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 行列 / 超幾何級数 / Aztec rectangle |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では, 行列と超幾何級数に関連した３項目「Aztec rectangle の数え上げ問題の拡張と解明, 及び超幾何級数を成分に持つ行列式の解析」「矩形行列式, Hankel 型行列式, Hankel 型 pfaffian に関する等式の拡張と応用」「leaf poset の組合せ論的特徴付けと拡張及び一般化」について, 代数的組合せ論の観点から, 広く横断的な研究を行うことを目的とした研究を行い, 今年度は主として次の結果を得た。
・穴が連続して空いた Aztec rectangle の domino tiling において, 対応する Schroder path の down vector に weight z をつけた母関数が「z 変数の (2,1) 型超幾何級数を成分とする行列式」で表されることをこれまでに得られた個数だけの結果の拡張となる形で証明した。また, 上記等式を証明する際に鍵となった行列式の等式に現れる超幾何級数をｑ超幾何級数に拡張する形で拡張し, 系としてｑ超幾何級数に関連した等式が多数得られた。
・岡山大学理学部の石川雅雄氏, リヨン大学の Jiang Zeng 氏と共同で, Aztec rectangle の domino tiling の証明に利用した（主として (2,1) 型の）超幾何級数に関連した等式の分析と z-analogue, q-analogue 等への拡張を行った。さらに解析を行うことにより多数の予想式が得られた。
・石川氏と共同で, 穴の空いた Aztec rectangle の domino tiling で180度回転不変な数え上げ問題に着手し, 穴が連続して空いている場合, 穴が小数個で連続していない場合等についての多数の予想式が得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Aztec rectangle の domino tiling の一つの z-analogue となる多項式を探し出すことができた。さらに, 超幾何級数、ｑ超幾何級数、及び180度回転不変な穴の開いた Aztec rectangle に関する多数の予想式を発見することができた。これらの結果と予想式は今後の研究の進展に大いに寄与すると期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に得られた結果をさらに進展させる。具体的には次となる。
・Aztec rectangle に関する予想式の証明と拡張。
・超幾何級数、ｑ超幾何級数に関連した予想式の証明と拡張。
・矩形行列式、Hankel 型行列式、leaf poset への応用と拡張。
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