2019 Fiscal Year Research-status Report
行列と超幾何級数に関連した代数的組合せ論とその周辺
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16K05060
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| Research Institution | Wakayama University |
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Principal Investigator |
田川 裕之 和歌山大学, 教育学部, 教授 (80283943)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 行列 / 超幾何級数 / Aztec diamond / hook formula |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では, 行列と超幾何級数に関連した３項目「Aztec rectangle の数え上げ問題の拡張と解明, 及び超幾何級数を成分に持つ行列式の解析」「矩形行列式、Hankel 型行列式, Hankel 型 pfaffian に関する等式の拡張と応用」「leaf poset の組合せ論的特徴付けと拡張及び一般化」について代数的組合せ論の観点から, 広く横断的な研究を行うことを目的とした研究を行い, 今年度は主として次の結果を得た。
・高さを r, 深さを s までに制限した (0,0) から (2n+m,m) への拡張された Delannoy path の個数が, -s≦m≦r, 0≦m+n, 0≦n≦(r+s+2)u-m+r を満たす場合には, (2,1) 型の超幾何級数 2u+1 個の和として表せることを証明した。
・拡張されたカタラン数の合成積を超幾何級数の等式を利用して証明し、系として, 超幾何級数のべき乗に関する新しい等式及び既知の等式の拡張となる偶数項のみからなるカタラン数の合成積が得られた。
・岡山大学の石川雅雄氏と共同研究を行い、ランク n の Aztec diamond に対応する「互いに交差しない n 個の Schroder path の組」の集合に順序を導入し、lattice path method を用いて Hankel 型行列式を調べることで, 順序集合としての rank generating function を求めることができた。
・岡山大学の石川氏、豊澤由貴氏と cylindric skew diagram の hook formula についての共同研究を行い、豊澤氏の提示した予想の一部を肯定的に証明した。また、証明に利用した等式の系として、(5,3) 型の q-超幾何級数、及び (4,2) 型の超幾何級数の恒等式が得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Schroder path に対して前年度に得られた結果の類似が Delannoy path に対しても得られた。また、超幾何級数に関連した新しい結果が様々な数学的対象の解析を行うことで見つかった。さらに、合成積の解析が新しい超幾何級数の等式の発見に効果的であることが分かった。この方針を、他の数列、多項式等に適用することで、新しい超幾何級数等に関連した等式の発見が期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに得られた結果をもとに, さらに研究を進展させる。具体的には次となる。
・Aztec diamond, Schroder path, Dick path, hook formula, 超幾何級数等に関連した予想式の証明及び新しい等式の発掘と拡張。
・矩形行列式, Hankel 型行列式, leaf poset への応用と拡張。
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