2016 Fiscal Year Research-status Report
大域的F正則性，ファノ多様体とフロベニウス直像の有限性
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16K05092
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
原 伸生 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90298167)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | フロベニウス直像 / 有限F表現型 / 正標数 / 2次元特異点 / 代数的スタック |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題の研究対象の一つとして，正標数の特異点または射影多様体が，局所的または大域的な有限F表現型（finite F-representation type，以下FFRTと略記）をもつ条件に関する考察がある．本年度においては，2次元正規次数環がFFRTを持つ条件について，大川領氏（京都大数理解析研究所研究員）と共同で研究した．
R を正標数 p の体上の2次元正規次数環とする．R は非特異射影曲線 C＝Proj R 上の豊富な有理係数因子 D に付随した次数環としてR＝R(C,D) と表される．D が整因子であれは，R のFrobenius直像は C 上の直線束 O_C(iD) のFrobenius直像を用いて表されるが，D の係数が整数でない場合には，その処理が障害となる．そこで，C を粗モジュライ空間にもつある種のDeligne-Mumfordスタック X で，粗モジュライ射 π: X → C による D の引き戻しが整Cartier因子になるものを用いて R のFFRT性を研究した．得られた結果は以下の通りである．
定理 R＝R(C,D) が対数的端末特異点をもたず，有理係数因子 D の各係数の分母が標数 p で割り切れないとき，R はFFRTをもたない．
この結果から，環 R＝k[x,y,z]/(x2＋y3＋z7) はいつFFRTをもつか?, というH. Brennerの問に対する答は，RがFFRTをもつのは，p＝2,3,7 の場合のみであることがわかる．
以上の結果は，大川氏との共著論文 "Frobenius push-forwards on weighted projective lines and the FFRT properties of surface singularities" として準備中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
高次元のファノ多様体のフロベニウス直像については進捗がみられないが，2次元の次数環のFFRTを考察する際に，重み付き射影曲線などstacky curveとの関係を用いることが有効であることが判明したことにより，今後の研究の方向性についての指針が得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
2次元正規次数環RがFFRTをもつのは，C＝Proj Rが射影直線である場合に限ることがわかった．そこで，この場合にRがFFRTをもつための必要十分条件を，対応するstacky curveの性質で記述する．さらに，FFRT性だけでなく，Rのフロベニウス直像に現れる直既約加群とその重複度について詳細に調べる．
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