2017 Fiscal Year Research-status Report
ユークリッド空間のコンパクト部分多様体のポテンシャルとエネルギーの研究
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16K05136
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70221132)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Riesz ポテンシャル / 留数 / 内在的体積 / 自己インダクタンス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Mをユークリッド空間のコンパクト部分多様体、x,yでMの点を表し、zを複素数とする。積空間M×Mの上で、二点間の距離|x-y|のz乗を積分したものを考える。Mを固定して、この積分をzの関数と考えると、zの実部が大きい場合は積分は収束し、zの正則関数になる。そこで解析接続により、定義域を広げると、複素平面上の有理型関数で1位の極のみを持つものが得られる。これを多様体MのBryllinskiベータ関数または超関数の意味での一般Rieszエネルギーと呼ぶ。この関数、およびその留数からMの幾何がどの位分かるか、という問題を研究している。今年度の実績は以下の通り。
(1) ある仮定の下、Bryllinskiベータ関数は球体および1,2次元球面を特徴づけることを論文にまとめ投稿した。(2) Bryllinskiベータ関数を定義する際に用いる発散積分の正則化（Hadamard正則化および解析接続を用いる正則化）を、電磁気学で出てくる自己インダクタンスに応用し、単一ループの自己インダクタンスを数学的に厳密に定式化した。コイルの自己インダクタンスの漸近挙動を調べ、物理学である近似の下知られている性質が得られることを示した。(3) Mがコンパクトボディ（有界開集合の閉包）のBryllinskiベータの留数からMの内在的体積（Quermassintegral）が導出できるかどうかという問題を考察した。内在的体積は凸幾何・積分幾何で基本的重要性を持つもので、ボディの境界の主曲率の基本対称式の積分で表される。この結果はまだ完成していないので、論文にまとめていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請書の研究計画で挙げた問題の(1a)、つまりコンパクトボディのBryllinskiベータ関数の留数から内在的体積がでるか、という問題については、まだ証明を書き上げていないが、次元が2,3の場合には肯定的、次元が4の場合は、上の命題は成立しないが、その局所版といえる命題が成立し、次元が更に上がると成立しないであろうというところまでは来ている。その代わり、申請書の研究計画に記したことからはずれてしまったが、申請書には書いていなかった問題、研究実績の概要の欄の(1),(2)ができたので、全体としてみたら研究自体は質・量ともに順調に進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要の欄に記した(2)の原稿を推敲し、投稿する。同じく(3)の証明を完成させて、論文にまとめ、投稿する。
研究内容について。(1) 自己インダクタンスの一般化を考える。被積分関数の分母の冪を一般の複素数にする、また、高次元の多様体への拡張を考える。
(2) 結び目に対する既知の幾何学的な量で自然なものは、他にwritheがある。これは、（二つの結び目の間の）絡み数を与えるガウスの積分公式を結び目に適用したものである。これを、上記(1)と同様の拡張をする。
(3) 回転トーラスのBrylinskiベータ関数を計算することにより、このextrinsic ballの面積のその半径による級数展開の３番目の項を求める。これは第二項まではすでに知られている。
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| Causes of Carryover |
（理由） これは、前年度からの繰り越しの結果であるといえる。今年度は、交付申請時に記した１１０万円を上回る約１４０万円を使用したが、前年度からの繰り越しが約８０万円あったため、結果として約５０万円の次年度使用額が生じてしまった。前年度繰り越しが発生したのは、去年の報告書にも記した通り、本課題申請時には想定していなかった大学の予算で、本課題よりも先に使用する必要のあるものが発生したことである。
（使用計画） 出張および招聘という旅費を主に考えている。現時点で予定している海外出張は、７月のアメリカのウェスタン・ケンタッキー大学と９月のスペインのカストロ・ウルディアレスである。また、９月には岡山への国内出張も予定している。共同研究者がフランスのディジョンおよびスペインのバルセロナにいるので、校務との兼ね合いを考えながら、こちらからの出張または招聘をしたいと考えている。
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Research Products
(5 results)
