2019 Fiscal Year Annual Research Report
Potentials and energies of compact submanifolds of Eulicidean spaces
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16K05136
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70221132)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ポテンシャル / エネルギー / 正則化 / メビウス不変性 / インダクタンス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Mをユークリッド空間のコンパクト部分多様体とする。zを複素数とし、M×M上距離のz乗の積分をzの関数と考えると、解析接続により1位の極のみを持つ有理型関数が得られる。これをMのBrylinskiベータ関数とよぶ。この関数とその留数の性質、およびそれらからMの幾何がどの程度わかるか、ということが研究の主目的であった。ソラネス氏との共同研究で、Mが奇数次元閉部分多様体であるか、偶数次元のコンパクトボディ（全空間と同じ次元の多様体）の場合は、zが多様体の次元（mとする）の(-2)倍のときBrylinskiベータ関数の値（これはMのRiesz (-2m)-エネルギーである）はメビウス変換で不変であることを示したのだが、コンパクトボディの場合の証明が間違えていたことを見つけた。今年度全く新しい方針で正しい証明を与えた。
次に、結び目のメビウス不変なエネルギーの定義にでてくる被積分関数を用いて、結び目の空間上にメビウス変換で不変な計量を定義した。このために、メビウス幾何学の成果と結び目のエネルギーで研究されてきた例を用いた。この結果はメビウス不変な汎関数の勾配の研究に役に立つ。
以下は今年度中に論文が完成しなかったものであるが、まず、ユークリッド空間のm次元閉部分多様体のαエネルギーはαが-2m以下ならば自己反発性をもつ、すなわち、多様体が自己交叉を持とうとするとエネルギーの値が無限大に発散することを、上述のベータ関数の研究で得られた手法を用いて示した。さらに、ポテンシャルに関係して、坂田繁洋氏との共同研究で、狭義冪凸性に関する新しい結果を得た。
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Research Products
(7 results)
