2018 Fiscal Year Research-status Report
変形量子化で構成される非可換ケーラー多様体上のゲージ理論の解明
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16K05138
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
佐古 彰史 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 教授 (00424200)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長谷部 一気 仙台高等専門学校, 総合工学科, 講師 (60435469)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 非可換幾何 / ケーラー多様体 / 場の理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ケーラー多様体の変形量子化を具体的に構成することを近年研究してきたが、特に局所対称な場合にしらべ、論文が掲載された(Noncommutative Deformations of Locally Symmetric Kahler manifolds)。そこでは具体的にスター積を構成する方法を与えた。特にリーマン面に対するスター積の構成に着目して、論文にしたものも発表した。また、カラベコフの変形量子化を基にFOCK表現を構成して一般のケーラー多様体に対する局所的な構成法を包括的に提案した論文（Fock Representations and Deformation Quantization of Kahler Manifolds）を発表した。次に、非可換空間上の場の量子論に関して述べる。スカラー場の量子論としてΦ^3模型の量子論を考え、ある強非可換極限で場の理論を定義する。この場の理論を完全に解いた。ユークリッド空間上の厳密な場の理論の構成が成功し、さらにそれを完全に解くことに成功した。またミンコフスキー空間の場の量子論の定式化も４，６次元では与えている可能性がある。2次元の場合について論じたものが、Exact solution of matricial Phi^3_2 quantum field theoryというタイトルで、4次元、6次元の場合をThe Phi^3_4 and Phi^3_6 matricial QFT models have reflection positive two-point function というタイトルで発表した。18年度ではさらに4次元の自己双対接続とケーラーアインシュタイン計量の新しい関係について示し、非可換R^4上のインスタントン解からケーラーアインシュタイン計量を構成することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ケーラー多様体の変形量子化とその上のゲージ理論の解明を目的とした研究であるが、現在までに様々なことが判明した。局所対称性がある場合や、変形量子化の範囲を超えてFock表現での構成などである。またそれらの上での場の理論、特にゲージ理論についての構成は30年度までの目標だったので、概ね達成されているといえる。ゲージ理論のソリトン解やその性質の解明は2019年度以降のテーマであるが、これに関しては準備を進めている。一方で、計画開始当時では予想されていなかった問題点もある。当初の計画では非可換多様体上の場の理論や、その量子化のひな型としての位相的場の量子論への拡張を視野に入れていた。しかし、そもそも非可換多様体における計量の取り扱いに関して、何が良い指導原理となりうるかについて、考察が不十分であり、やみくもに位相的場の量子論への拡張を行うことが必ずしも有意義ではないと考えている。そのため、変形量子化に立脚するという立場をいったん捨て、量子化の概念をより高い次元から俯瞰しなおし、指導原理となるべき指針について、研究を始めているところである。そういう意味では、別の視点からの研究は進捗しているのであるが、当初の予定では無かった研究が必要になっている。しかしそれらについても、成果が上がりつつあり、研究体制の見直しを含め問題無く進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
カラベゴフによる変形量子化の方法を主な手法として進められてきたが、前年度から徐々にそういった特定の手法によらずより大きな枠組みを構築する方向へ研究がシフトしてきている。そのため、異なる量子化の専門家を交えるなどの観点から、幾何学的量子化の専門である麻布大の廣田氏にも研究協力をお願いするなどの方策をとり、議論をすすめている。また、より広い専門家との意見交換が必要となってきているため、「ポアソン幾何とその周辺」というタイトルで研究会を開催し、情報交換をすすめている。量子化をテーマとする以上はポアソン幾何をあらゆる方向から検討することが必要であるが、個人の力で行うのは難しく非効率であるからだ。今後もこの研究会は続けて開催し、広く情報交換の場を確保するとともに、新しい研究の連携の足掛かりを構築していく予定である。また、同様にして、量子化を空間の離散化と捉える流れからも、離散幾何や離散幾何をもとにした数理物理の研究会の運営にも携わり、より多くの研究交流と情報収集を進めていくことが重要と考えている。離散幾何関係では二つの研究会の世話人となり、本研究の推進にも有効に活用していく予定である。また、新たに博士課程の大学院生を本研究に参加してもらい、教育と研究を有効に融合する方策を実施し、それにより研究がより効率的に推進すると考えている。
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| Causes of Carryover |
研究分担者である仙台高専長谷部氏との研究打ち合わせが前年度末に行う予定だったものが、お互いの都合がつかず、次年度に持ち越してしまっており、その旅費として使用する予定の分が差額として残っている。
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