2016 Fiscal Year Research-status Report
最近の計算代数統計学の進展に対する微分幾何学的展開
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16K05139
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
濱田 龍義 日本大学, 生物資源科学部, 准教授 (90299537)
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| Project Period (FY) |
2016-10-21 – 2021-03-31
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| Keywords | 部分多様体 / 代数統計学 / 計算機代数 / 数式処理 / オープンソースソフトウェア / MathLibre |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究は，計算代数統計学において開発された手法に注目し，微分幾何学的な視点から再検討を行うことを目的としている．トーリックイデアルとマルコフ基底の同値性が示されて以来，計算代数統計学は急速に発展してきた．ホロノミック勾配降下法は，微分作用素環のグレブナー基底の理論，微分方程式の数値解法,統計的推定理論などを全て用いて統計的モデルの解析を行う方法である．ホロノミック勾配降下法について，専門家から情報収集を行いつつ，アフィン幾何学的な視点から再検討を行っている．また，これまでの概接触構造を持つ部分多様体の研究経験を活かし，複素構造が導入された統計多様体の部分多様体についても考察を進めている．
情報幾何学およびコンピュータビジョンとの連携については，専門家との情報交換を重ね，生物資源科学分野への応用についても新たに検討中である．これまでの検討から，ある種の問題については機械学習ライブラリの適用が有効ではないかという仮説を得た．今後は研究協力者と実証実験を行えないか検討を行っている．
2017年3月23日に「数学ソフトウェアとフリードキュメント/24」を首都大学東京で開催し，最近の計算代数統計学の進展に対する微分幾何学的展開について議論を行った．「数学ソフトウェアとフリードキュメント」については，様々な分野の研究者が集い交流を行う貴重な機会となっている．2017年3月には，幾何学，トポロジー，計算機代数，代数統計等の複数の専門家の協力を得て，数学に関連するオープンソースソフトウェアを収集したコンピュータ環境MathLibre 2017を開発，公開を行った．また，動的数学ソフトウェア GeoGebra の整備と普及に関連して，統計数理研究所において共同研究集会を開催し，研究成果を共同研究リポートにまとめて出版した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究環境に大きな変化があったため，研究活動を開始するにあたり，様々な困難はあったが，これまでに培った専門家との連携，連絡により，当初，心配していた状態よりは順調に情報交換，研究打合せを重ねることができた．特に10年以上継続してきた数学ソフトウェアプロジェクト MathLibre を無事に公開できたことは，大変有意義なことだと感じている．計算機環境が日々変化していく中で，今後の方向性については再検討が必要であるが，一方で，数学ソフトウェアのアーカイブとしての役割は十分に果たしていると確信している．今後は，安定した開発環境の構築と，運用ドキュメントの充実を図る予定である．
新たな研究環境は，これまでとは異なり，生物資源科学を中心とした専門家から構成される．生物資源科学に関係する研究集会が常時開催されており，非常に活発に研究が進められている．最新の生物資源科学の動向に詳しい専門家との交流を経て，これまでは縁の薄かった諸問題に触れることができた．新しい環境が，今後の研究を進める上で大きな刺激となっている．これまでに，様々な生物資源科学における諸問題に対して，解析学的および統計学的な分析が多数行われてきたことは周知の事実である．一方で，幾何学的な分析や，代数学的な分析は，発展途上にあるように思われる．新たな観点を得ることによって，代数統計学の応用，そこでの幾何学的観点の適用，計算機代数の応用という進展が期待される．まずは，機械学習ライブラリの生物資源科学への応用を検討し，今後の研究につなげる予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
最新の計算代数アルゴリズムについて，基礎的な部分から見直しを行う予定である．これは，本研究を進める上でも重要な役割を占めている．まずは，汎用的な計算機環境における計算機代数システムの構築とインターフェースの開発について研究を進める予定である．現在，研究協力者と協力して，JavaScript上での計算機代数システムおよび可視化システムの構築に着手した．JavaScriptによる実装は，速度面のデメリットは否めないが，それを上回るメリットも多数存在する．一般的なWebブラウザは，JavaScriptの実行系を備えているため，PCからスマートフォンにいたるまで計算機環境を問わずに実行可能である．すでにグレブナー基底の計算についても実装が進みつつあり，代数統計学における研究成果の可視化につなげることを検討している．
当初の予定にはなかったが，生物資源科学系における代数統計学の応用も視野に入れることを検討している．その手始めとして，3月に開催した研究集会「数学ソフトウェアとフリードキュメント」では，バイオインフォマティクスの専門家の協力を得た．今後も情報交換，および研究打合せを進める予定である．生物資源科学と一口に言っても，幅広い分野があり，DNAレベル，微生物等から，森林，大型動物に至るまで，その研究対象は幅広い．生物系における数学の研究は，すでに様々なアプローチが始められており注目を浴びている分野であるが，一方で，その応用分野の一つである生物資源科学においては，まだ途上段階と思われる．代数統計学の威力を発揮する研究分野として大いに期待できるし，また，幾何学的な観点，代数的な観点が新たな研究の視点を生み出す可能性を秘めていると感じている．
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| Causes of Carryover |
主な理由は，すでに1年間の研究計画を立てた後の追加採択であったためである．当初の予定とは異なる研究機器の購入を検討したが，必要となるパーツの性能を精査する時間を必要としたこと，必要とする部品の新規発表のタイミングを見計らったことなどから，平成29年度以降の予算で集中的に機器の整備等の対応を準備する計画を新たにたてた．以上の理由により次年度使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究ツールとして，深層学習の計算用機器の導入を計画しており，与えらた予算規模の問題から，まずは小規模な範囲で研究機器を構築し，分析を進める予定である．その他に当初の計画に沿って，計算機代数に関する書籍の執筆計画が進んでおり，それに伴い研究協力者への協力，および研究打合せ等において，新たな計画を追加し，汎用的な計算機環境における計算機代数システムの構築を通して，代数統計学の応用分野への適用と，幾何学きな観点からの再確認を進める予定である．次年度使用額 467,606 円の内，40万円前後を物品費として計上，深層学習の計算機，および計算代数システムの開発環境を導入，残額を深層学習関連の研究者との情報交換，および研究打合せの旅費として利用する予定である．
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