2016 Fiscal Year Research-status Report
位相空間論と連続体論を用いたカオス力学系の幾何構造の研究
| Project/Area Number |
16K05141
|
|---|
| Research Institution | University of Tsukuba |
|---|
Principal Investigator |
加藤 久男 筑波大学, 数理物質系, 教授 (70152733)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 幾何学的トポロジー / 位相力学系 / カオス / 位相エントロピー / フラクタル / 位相次元 / 連続体 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
位相力学な発想から、写像のeventual coloring numberの概念を新たに導入しその評価公式を得ることで、この方面の研究を発展させることに成功した。同相写像のゼロ次元力学系への持ち上げで、その factor map が finite-one になるものを構成した。局所コンパクト空間上の任意の連続写像について、その周期点集合を‘最適’に保存するコンパクト化が存在することを証明した。あるカオス的な力学系（たとえばゼロ次元周期点集合をもつ力学系）において、最近の物理学に登場するダークマターにヒントを得たダーク空間を定義し、全体空間がダーク空間でほとんど覆われていることを証明した。また、関数解析への応用として、Banach の著名な‘等長埋め込み定理’を更に発展させた定理を得た；つまり、任意の可分距離空間 X はヒルベルト立方体上の関数空間 C(Q)に等長的に埋め込み可能で、さらに任意の point-wise bounded な X 上の等長変換群は C(Q)上の等長線形変換群に自然に拡張される。また、U. Darji 氏との共同研究でエントロピー正の力学系は複雑な幾何構造を許容することを証明した。すなわち、正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体は、indecomposable 連続体を含む。この結果は、エントロピーとindecomposable性に関するこの方面の問題の重要な結果である。また、一般的な逆極限の幾何構造についての研究を行った。特に、その逆極限の次元についての評価式を得た。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
これまで Darji 氏との共同研究でエントロピー正の力学系は複雑な幾何構造を許容することに成功していた。すなわち、正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体は、indecomposable （分解不可能な）連続体を含む。この結果は、エントロピーとindecomposable性に関する重要な結果である。今年度この結果を更に精密化させた構造定理を得ることに成功した。より具体的には、グラフ・ライクな連続体上のトポロジカルエントロピーが正である同相写像は、その上で重要なカオスを引き起こすカントール集合を含み、かつそのカントール集合は分解不可能な連続体のコンポーザントに横断的に埋め込まれることを証明した。この結果は、この方面の最終定理と考えられる。また、一般的な逆極限の幾何構造についての研究を行い、dimensionally stepwise spaces, 次元、ANR 性などに関する重要な定理を得ている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
平成２９年度以降も平成２８年度の基本方針に従い研究を進める予定である。研究の進み具合に応じて研究テーマの内容の検討を行い、その時点で必要に応じた連携研究者の追加などで研究計画を弾力的に見直していく予定である。また平成２９年度以降、研究代表者および連携研究者は国内外の研究集会・国際会議に積極的に参加し、研究発表や研究成果のレビューもできるだけ積極的に行っていく予定である。本研究を進める上で国内外の研究者との研究協力は欠かすことができないものと考えているからである。平成３０年度は特に各研究テーマについて内外の研究者との共同研究・討論を精力的に行ことで、本研究をさらに進展させたい。
|
| Causes of Carryover |
大学業務のため、予定していた外国出張をキャンセルした。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国内外の研究集会にさらに積極的に参加し、本研究の実績を高めたい。
|
