2020 Fiscal Year Research-status Report
３次元多様体の例外的デーン手術による４次元多様体の改変
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16K05143
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山田 裕一 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (30303019)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山口 耕平 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 名誉教授 (00175655)
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (70452422)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 幾何学 / トポロジー / ４次元多様体 / ３次元多様体 / デーン手術 / レンズ空間 / Kirby計算 / 枠付き絡み目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
デーン手術によって双曲的な結び目から"例外的に"双曲的でない３次元多様体が生じる現象は「例外的手術」と呼ばれ、低次元多様体論の１つの課題である。筆者はこの現象に関連して特殊な４次元多様体を構成・分析することを研究目標としている。令和２年度は、本務先の減員とコロナ禍で苦しい状況であったが、いくつかの研究活動を行うことができた。以下、それらを具体的に述べる：1. レンズ空間を生じる結び目のうち散発的と呼ばれる希少種の結び目がすべてディバイド曲線表示されることを示した論文が、査読者からの助言に基づく推敲を経て出版に至った。2. 丹下氏と安部氏（立命館大）が主催したオンライン研究集会「 微分トポロジー21」は、D.Freed and K.Uhlenbeck 著「Instantons and Four-Manifolds」を協力して読破する企画であった。筆者は非専門家の立場で４章「CP2の錐」を担当し講演した。3. 日・中・韓の3国で交代実施している国際研究集会「東アジアGeometr y and Topology」（オンライン）の現地世話人の１人として全日参加した。4. 科学雑誌「数理科学」のトポロジーの特集記事の執筆依頼を受け、低次元トポロジーの基礎事項を解説して最先端の成果を紹介した。
研究分担者の丹下氏はレンズ空間手術について、アレクサンダー多項式の３項目が非自明な係数を持つときに得られるレンズ空間を全て分類した。４項目が非自明な場合の分類も行った。山口氏はトーリック多様体X上の代数的ループ（多項式で表現できる１次元球面からXへの滑らかな写像）についてAtiyah-Jones型の定理が成り立つことを A. Kozlowski氏（ワルシャワ大学教授）との共同研究により証明し、論文を投稿した。
コロナ禍のもと、新しい研究様式を整えて従来と同レベルの研究を再開したい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究は５年目、計画当初でいう最終年度であるが、研究活動はやや遅れていると言わざるを得ない。既に研究期間の延長を申請した。理由として:(1)本務先の減員が続いて疲弊した。2018年度末に同僚が１名転出し、2019年度には研究分担者でもある教員の定年退職があり、１名は新規採用で補充されたものの苦しい状況が続いた。(2)その状態でコロナ禍の社会状況となり、遠隔授業など教育活動の負担が一気に増大した。(3)個人的な都合ではあるが、自宅よりも研究室で研究する様式だったため、特に自宅待機の期間中は設備不足で困惑した。一刻も早く体制を整えて、新しい様式で研究活動に取り組みたい。ただし、研究内容を変更する必要は感じていない。特に、当面は下記の３つの課題と関連する成果の論文執筆などに取り組みたい。1. 自分自身の過去の結果（レンズ空間手術の結び目のdivide表示）の意義を再認識した。このテーマで未解決の課題が残っている。2. 2018年度の研究「例外的手術の分布」について、対象を広げて比較を検討する課題がある。１つ前の論文よりも計算や記述の複雑さが増しているが、現在の成果で論文を執筆するか、より深く考察を続けるか、などの検討から活動を再開し、流れを止めず時機を逸せず取り組みたい。3. 同じレンズ空間を生じる異なる結び目の対とそれから生じる４次元多様体の研究を再開させたい。この研究では、出版済の基本的な例が出発点ではあるものの、この先の最終段階（両方が双曲的な場合）こそが意義深いと考えている。これらの他にも研究課題がいくつか残っている。コロナ禍の逆境はまだ続くと考えられ、現在取り組んでいる採用人事などで多忙となることは避けられないが、延長申請した１年間で本研究計画の最低限の仕上げに向かって最善の努力をしたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究の推進策といっても、研究の内容は変更する必要はないと考えている。2020年度の前半は前代未聞、突然のコロナ禍で最初は戸惑うことばかりであったが、今では、ほとんどすべての集会がオンライン開催となり、参加することに慣れてきた。司会者もなんとか務められた。ただし自分で講演するにはまだ練習不足である。内容的にも準備不足、機材の面でも練習不足の講演をしてしまったと感じて反省している。研究分担者の丹下氏のオンライン「ハンドルセミナー」に積極的に参加している。今後も、研究がコロナ禍の犠牲にならないよう心して取り組みたい。過去の研究活動の中で、特に興味もなかったのに計算機の周辺機器（ヘッドセット、タブレットなど）を購入しておいたことが、自宅待機の局面になって無駄ではなかったことに気づかされた。むしろもっと高機能な製品を選び、新製品に更新しておく必要があったことを反省する。描画ソフトを研究室のＰＣに限定したことも失敗だった。セキュリティのための日常的・継続的な情報収集や管理作業などももっと必要であった。今後はこれらの反省をもとに活動したい。
研究そのものについて特に反省点や変更点はない。自宅での研究のための設備・環境を整え、研究時間を確保して研究を維持したい。もちろん、研究テーマに変更はない。引き続き、2成分絡み目の例外的手術の4次元多様体論への応用を研究の主軸として進める。数学会の委員を務めたことをきっかけに他分野への関心、特に良書への興味が広がり、研究に良い影響が及んでいるの実感する。過去の成果を見直して新たな価値を再発見し、現時点にふさわしい形に修正する試みも続けたい。本計画は期間延長を申請した。内容的な仕上げを意識しつつ、次期の研究活動に向けて新展開の模索を始めたい。
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| Causes of Carryover |
理由が３つ重なった:(1) 2018年度から続く順延の繰越があった。(2) コロナ禍で、研究者が集う研究集会（出張）は中止されオンライン形式での集会に変わった。特に、海外出張の機会はすべて絶たれた。(3) 本務先で同僚の減員が続いた中でのコロナ禍となり、遠隔授業など慣れない教育活動で疲労が蓄積した。(1)については過去の報告で述べた通り。(2) 研究計画していた旅費は使用できなかった。年度前半の緊急事態宣言の時期には備品の購入が困難で、古いヘッドセットや ipad で乗り切った。夏以降に新規の備品をいくつか購入したが、ソフトウェアや使用法についてさらなる工夫と練習が必要であった。勉強不足を感じている。
筆者はH27年から3年間続けて、丹下基生氏、安部哲哉氏と研究集会 「微分トポロジー」を開催してきた。開催時期は毎年3月であった。H30年（H29年度）からは筆者は多忙となって世話人を離れたが、この分野・集会を応援し期待する気持ちは変わらない。2020年度も講演を引き受けた。年度末開催のため予算を過不足なく使うのは難しいが、本研究にとって最も有意義とも思えるこの集会への参加を今後も大切にしたい。
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