2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05156
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (10264144)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / 写像類群 / リーマン面 / 代数曲線 / 周期的写像 / 擬アノソフ同相写像 / 分岐被覆空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
写像類群と結び目に関して主として次の研究を行った：
１）有向閉曲面上の有限群作用のデーンツイストによる表示の研究：種数４の有向閉曲面上の有限群作用のデーンツイスト表示を求めた．種数4の有向閉曲面上の有限群作用の中で包含関係のもと極大となっているもののリストが Bogopolski によって求められている．それらの全ての有限群作用についてデーンツイスト表示を求め，その結果，全ての有限群作用についてデーンツイスト表示を求めることができた．特に，最大位数の有限群作用となっているブリング曲線の自己同型群は小島定吉氏等によって研究されている配置空間と深い関係を持っているものである点で非常に興味深い対象であり，さらに，立方体への4次対称群の作用との自然な関係性についても明らかになった．なお，有限群作用の特別なクラスとして超楕円的写像類群の有限部分群があるが，全ての種数についてそのデーンツイスト表示が長谷川祐介氏（東京理科大学理工学部）により求められた．
２）エントロピーの小さい擬アノソフ元の構成に関する研究（金英子氏（大阪大学）との共同研究）：写像類群の部分集合におけるエントロピーが 1/g と漸近的である擬アノソフ元の存在と構成について研究を引き続き行った．とりわけ，（１）3次元球面やレンズ空間 L(p,1) の Heegaard曲面を保つ写像類群（ゲーリッツ群）（２）3次元多様体の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーについて研究を行った．特に （１）については，超楕円的な対称性をもつ Heegaard 曲面のゲーリッツ群と wicket 群との関連性を明らかにすることを通じて研究を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
以下の理由より，研究は概ね順調に進展していると判断した．
１）種数4の閉曲面上の有限群の作用のデーンツイスト表示を完成することを通じて研究の方法をさらに発展させることが出来，超楕円的写像類群の有限部分群に関する Dehn twist 表示が長谷川氏により求められたことから，今後のさらなる進展が見込まれるようになったこと．
２）種数4の有向閉曲面上の極大な有限群作用の間の有機的なつながりを見いだすことができ，さらに大きな種数の曲面上の有限群作用の研究への足がかりを得ることができたこと．
３）超楕円的な対称性を持つ3次元多様体の Heegaard 曲面のゲーリッツ群と，wicket群の間の関係性を明らかとし，ゲーリッツ群の代数的構造や力学的な性質をより深く理解できる可能性が見いだせたこと．
４）作間誠氏により任意の3次元多様体の2重分岐被覆として曲面束が現れることが示されていた．昨年度，3次元球面の2重分岐被覆として現れる3次元多様体について，この事実を簡明かつモノドロミーが明確にわかる形で示せたことをもとに，今年度はさまざまな3次元多様体についてその2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーについての考察を深めることができたこと．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で得られた知見を元に，位相幾何学的な観点からの写像類群や結び目等の研究を引き続き行う．具体的には例えば以下の研究を行う．
１）３次元多様体の Heegaard 曲面のゲーリッツ群と wicket 群についての研究：今年度行った研究において，上記の2種の群の深い関係が明らかとなった．この対応を元にゲーリッツ群の生成系や表示，安定化させた時の力学的な振る舞いなどを明らかにする．
２）閉曲面上の有限群作用の研究：今年度，種数４の場合の研究がひとまず完成したので，今後は，より大きな種数の場合の研究を進展させるため，まずは種数５以上の曲面について，周期的写像の Dehn twist 表示に関する研究を行い，さらに，有限群作用の中で極大なもののリストを作成することにより研究を推進する．さらに，これらの研究のレフシェッツファイバー空間などの構成への応用についても研究を行う．
３）対称性を持つ曲面の写像類群の研究：超楕円的写像類群の有限部分群について長谷川氏が Dehn twist 表示を求めているが，他の対称性を持つ曲面上の写像類群にいかなる有限部分群が現れるか，さらにその Dehn twist 表示について研究を行う．
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| Causes of Carryover |
（次年度使用額が生じた理由）次の３点から，次年度使用額が生じた．１）今年度予定していた国内や海外出張の計画が取りやめになってしまった事．２）購入を予定していた計算機等について，種々の使用状況を考慮して，次年度まで検討を持ち越したため．３）今年度得られた知見について研究集会で発表を行い，さらに研究打ち合わせを行う予定がある為に，来年度多くの金額が必要になった事．
（次年度の使用計画）１）東京理科大学で行うトポロジーセミナーのため，最先端の研究を行っている研究者を招聘する．２）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について最新の成果を学び研究成果を発表する為，他大学・研究機関（海外を含む）へ出張する．３）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について研究打ち合わせを行うために，国内外の研究者を招聘する．４）写像類群や結び目理論の研究を進展させる為の最新のソフトウェアーを利用する為の最新の電子計算機を購入する．
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