2020 Fiscal Year Research-status Report
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16K05156
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (10264144)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / 写像類群 / リーマン面 / 周期的写像 / 擬アノソフ同相写像 / 分岐被覆空間 / 代数曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
写像類群と結び目に関して主として次の研究を行った：
１）種数5の有向閉曲面上の周期的写像のデーンツイストによる表示の研究（石川傑也氏（東京理科大学），大森源城氏（東京理科大学）との共同研究）：以前に種数４以下の有向閉曲面上の有限群作用のデーンツイスト表示を求めている．その研究をさらに高種数に進展させることを目指して，種数５の有向閉曲面上の巡回群作用すなわち周期的写像について，そのデーンツイスト表示を求めた．Nielsen による周期的写像の軌道空間から巡回群への準同型を表すデータを元にした分類を元にして，種数5 の閉曲面上には共役を法として76 種の周期的写像が存在することがわかるが，これらは13 種の周期的写像のべきとして表されることから，これら13 種の周期的写像写像についてデーンツイスト表示を，上記のデータから得られる閉曲面の胞体分割へ巡回群の作用を基に求めた．
２）3次元多様体の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーに関する研究（金英子氏（大阪大学）との共同研究）：作間誠氏（大阪市立大学）により，任意の向き付け可能な3次元多様体に対して，その2重分岐被覆として円周上の曲面束が現れることが示されている．この曲面束のモノドロミーとしてどのような写像が現れるかを考察することは非常に興味深い問題である．金英子氏との共同研究により，3次元球面上の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーとして拡大度の小さな擬アノソフ写像の系列が得られることを示したが，さらに，他の3次元多様体について同様の現象が起きるかどうかについて予備的な考察を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
以下の理由より，研究はやや遅れていると判断した．
１）今年度の秋まで学科の主任を担当していた．そのために多くの時間を費やすこととなり，十分な研究時間を取ることができなかったこと．
２）コロナの影響により出張を行うことができず，研究打ち合わせにより研究を進展させることや，研究集会に出て研究成果の発表を行い最新の情報を得ることが難しくなったため．
３）リーマン面上の有限群作用とそのデーンツイスト表示について，昨年度までに種数３と４の場合を行なっていたが，十分な研究時間を取ることができなかったため，それらの研究結果について明快な形でまとめ上げることができなかったこと．また，種数５の有向閉曲面上の周期的写像についての研究を行うことができたが，さらに，一般の有限群作用については考察することができなかったこと．
４）さらに，絡み目のブリッジ分解のゲーリッツ群に関する研究計画があったが，十分に考察する機会を得ることができなかったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で得られた知見を元に，位相幾何学的な観点からの写像類群や結び目等の研究を引き続き行う．具体的には例えば以下の研究を行う．
１）閉曲面上の有限群作用の研究：閉曲面上の有限群作用に関する Breuer のアルゴリズム等を用いて種数５の有向閉曲面上の有限群作用の中で極大なもののリストを作成し，今年度得られた種数５の有向閉曲面上の周期的写像のデーンツイスト表示を元に，これらのデーンツイスト表示を求めることを通じて研究を推進する．さらに，これらの研究のレフシェッツファイバー空間などの構成への応用についても研究を行う．
２）3 次元多様体の分岐的 virtual fibration のモノドロミーの研究： 今年度得られた3次元球面以外の3次元多様体の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーに関する予備的な考察を進めることで，3次元球面の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーに現れた現象が，他のどの様な3次元多様体に現れるかを明らかにする．
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| Causes of Carryover |
以下の４点から，次年度使用額が生じた．
１）今年度予定していた国内や海外出張の計画が，コロナの影響等により取りやめになってしまった事．２）購入を予定していた計算機等について，種々の使用状況やバージョンアップ等を考慮して，次年度まで検討を持ち越したため．３）今年度に行う研究集会等への研究者の招聘費用を確保していたが，コロナの影響等により旅費が発生しなくなり，実際の支出が少なめになった事．４）今年度得られた知見について研究集会で発表を行い，さらに研究打ち合わせを行う予定がある為に，来年度多くの金額が必要になった事．
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