2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K05173
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
伊藤 秀一 首都大学東京, 理学研究科, 客員研究員 (90159905)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴山 允瑠 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (40467444)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ハミルトン力学系 / 可積分系 / バーコフ標準形 / 超可積分系 / 剛性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
解析的で超可積分なハミルトン系の特異点の近傍において「解ける座標」の存在をめぐって研究を行なった。ここで，ハミルトン系の第一積分の間にポアソン可換性は仮定しない，すなわち非可換な立場から可積分系を考察した。また，超可積分とは自由度が n (相空間の次元が2n) のハミルトン系に対して，nを超える個数の第一積分の存在を仮定することを意味する。第一積分の作るレベル集合の特異点の近傍ではリウビル・アーノルドの定理は適用できないが，その場合にも「解ける座標」をハミルトン系の標準形理論に現れるバーコフ座標によって与えること，またそれによって可積分系のもつ剛性を深く追求することを目標に研究を行なった。
上記の特異点は系の不変集合を作るが，それに付随したポアンカレ写像を考えるとき，(i) 固有値の単純性を弱められないか？ (ii) 不変集合の力学的性質として楕円型である場合に通常の可積分系に対して解ける座標が見つかっているが，これを超可積分系の場合も含めて，他のタイプの不変集合の場合に拡張できないか？ を中心に研究を行なった。いずれの問題についても，不変集合に付随したポアンカレ写像の固有値の共鳴度と第一積分の個数との間の条件が必要になる。その結果，(i) については予想を実現するには至らなかったが，(ii) の方向で部分的結果を得た。
また，自由度3以上のハミルトン系の共鳴平衡点のまわりでのバーコフ標準形についての研究，およびハミルトン系とは限らない一般のベクトル場の平衡点近傍における標準化問題について，可積分系の剛性の観点から研究を行なった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
当初予定のシンプレクティックとは限らない一般の写像の超可積分性と標準化の問題についての成果が得られていない。また，楕円型以外のタイプの共鳴平衡点でのベクトル場の標準化についても成果を得ることができなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
超可積分なハミルトン系の特異点近傍での「解ける座標」の存在について，不変集合が楕円型と限らなくても「解ける座標」の存在を証明できると思われるので，それを速やかに論文としてまとめる。それを通じて，不変集合のもつ共鳴度と第一積分の個数の関係について，剛性の観点から研究を進める。また，一般のベクトル場の超可積分性について，ベクトル場の標準化の観点から一石を投じたい。
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| Causes of Carryover |
渡欧して研究成果についての評価を受ける予定であったが，訪問予定の研究者が別用務で来日する機会があった。その際の討論を今後発展させることが本研究目的の達成に重要と考え，次年度使用額を残して研究期間の延長を申請した。また，3月に予定していた研究発表および研究情報収集のための機会が，新型コロナウイルスの感染拡大のため中止になった。
次年度に海外出張が可能になれば，上記の目的のために海外出張を行うなど，本研究目的の達成のための有益な使い方で助成金を使用したい。
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