2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05174
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
伊師 英之 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (00326068)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 正則凸錐 / ヘッセ幾何 / 指数型分布族 / グラフィカルモデル / 情報幾何 / 等質空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
任意の等質錘は特定のブロック行列をもつ正定値対称行列からなる集合として実現される，というこれまでの自身の結果の拡張として, 任意の等質ヘッセ領域を対称行列の集合として実現することに成功した. これは正規ヘッセ代数という左対称代数（プレ・リー代数）の代数的構造の考察に基いて得られた結果である．単に等質ヘッセ領域の具体例が得られたというだけでなく，同じ枠組みで群作用や不変ヘッセ計量が明示的に記述できることに意義がある．この結果は「Matrix realization of a homogeneous Hessian manifold」というタイトルで査読付きProceedingsとして発表し, 国内外の研究集会で講演した.
確率分布族を図形とみる情報幾何学の立場において円や直線に対応するものは何かという問いに対し, 等質（自己同型群が推移的に作用する）指数型分布族は一つの答であるといえる．この等質指数型分布族のパラメータ集合には自然に等質ヘッセ領域の構造が入るので，上記の結果は等質指数型分布族の研究において重要な鍵となると思われる．
等質錐ではないが豊かな解析を許容する正則凸錐として，三重対角正定値対称行列のなす凸錐がある．これはグラフィカルモデルにおいては，パスグラフ（A_n グラフ）に対応するある意味で最も基本的な凸錐である．その凸錐の特性函数や主小行列式の巾乗の積のラプラス変換の計算とその数理統計への応用を P. Graczyk 氏，S. Mamane 氏との共著論文として "Wishart exponential families on cones related to tridiagonal matrices" というタイトルで発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
等質錐と chordal グラフィカルモデルに付随する凸錐を統合する新しいクラスの正則凸錐上の幾何と解析を研究してきたが，これが色つきグラフィカルモデルの研究に応用できる可能性が判明した．これは大変重要な進展である．実際，データの条件付き独立性を扱う通常のグラフィカルモデル理論に対し，データの間の様々な制約条件を扱える色つきグラフィカルモデルは応用範囲が広く，それを扱う代数的枠組みを提供できれば，インパクトの大きな貢献となるであろう．
等質指数型分布族の研究も，等質ヘッセ領域の幾何という基礎が固まったことで，今後の進展が期待できる．すなわち，全ての等質ヘッセ領域を対称行列の集合として実現することができたことで，等質指数型分布族に従う確率変数も対称行列に値をとるものとして構成できる見通しがたった．
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| Strategy for Future Research Activity |
対称行列からなる正則凸錐の特性函数が明示的な公式を許容する背後には，コレスキ分解が重要な役割を果たす．このコレスキ分解の良い振る舞いを捉える代数的枠組みを整備し，これを色付きグラフィカルモデルの研究に応用する．これが第一の研究目標である．もう一つの目標は，等質錐上のウィシャート分布についての結果と，等質ヘッセ領域の行列実現を踏まえて，全ての等質指数型分布族をウィシャート分布の条件付き分布あるいは周辺分布として構成する方法を確立することである．等質指数型分布族の情報幾何の視点からの研究を展開すること，そして実際的な応用を探索することも目指して行きたい．
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