2019 Fiscal Year Research-status Report
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16K05174
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
伊師 英之 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00326068)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 等質錐 / グラフィカルモデル / コレスキ分解 / 可解リー群 / 余随伴軌道 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コレスキ分解に関して Fill-in free なスパース行列のもつ良い性質に着目し，実対称行列からなるベクトル空間について「コレスキ構造」および「準コレスキ構造」なる概念を導入した．そして準コレスキ構造をもつベクトル空間において正定値対称行列からなる凸錐については，等質錐と同様の豊穣な解析が成り立つことを示した．これによって等質錐やコーダル・グラフィカルモデルを統一的に扱う自然な枠組みを確立したことになる．とくに頂点の置換に関する対称性でコーダル・グラフを着色した「色付きコーダル・グラフィカルモデル」が準コレスキ構造をもつことを証明できた意義はきわめて大きい．
上記の色付きグラフィカルモデルのうち，完全グラフに対応するものは対称錐およびジョルダン代数の理論を用いて記述できる．このジョルダン代数の記述に有限群の表現論が重要な役割を果たすが，そこで必要となる「表現の分解」が「行列式の因数分解」で代替できることを証明した．この結果を利用して，与えられた多変量データの対称性を探索するモデル選択問題に取り組んだ．これは Piotr Graczyk 教授, Helene Massam 教授, Bartosz Kolodziejek 博士との共同研究である．
等質錐を底とするチューブ領域に単純推移的に作用する可解リー群は，その余随伴作用に関して開軌道をもつ．一般に指数型可解リー群の余随伴軌道と既約ユニタリ表現の間の Kirillov-Bernat 対応において, 表現の解析的性質と余随伴軌道の幾何的性質がどのように関連するかは基本的な問題である．我々は余随伴軌道の一点での固定部分群が正規部分群であるとき，対応する表現の微分表現の核が固定部分群を用いて記述されること，とくに余随伴開軌道に対応する表現の微分表現は忠実であることを示した．これは Ali Baklouti 教授との共同研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
等質錐とコーダル・グラフィカルモデルの統合が本研究のスタート地点であったが，当初考えていた枠組みは，いまから思えばやや人工的なものであった．これが準コレスキ構造という自然な概念に発展したことに大変満足している．とくに色付きコーダル・グラフィカルモデルという統計的に自然なモデルが準コレスキ構造をもつことを証明したことで，これまで一般論がなかった色付きグラフィカルモデルの研究に大きな進展をもたらすことになる意義は非常に大きい．
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| Strategy for Future Research Activity |
準コレスキ構造の理論は対称錐および等質錐の拡張として多くの分野に応用をもつことが期待されるので，調和解析，微分幾何，複素幾何，数理統計，そして凸計画法といった多様な分野の研究者にアクセスしやすいように研究発表し，あるいは個別に討論して，具体的な問題への応用を探索する．とくに色付きコーダル・グラフィカルモデルについては完全グラフの結果を拡張するかたちでモデル選択問題に取り組む．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で，３月に参加を予定していた研究集会が中止になり，そのための旅費89,521円は次年度の研究活動（旅費）に使用することとなった．
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