2016 Fiscal Year Research-status Report
組み合わせ論的零次元位相力学系の研究－Bratteli-Vershik系を超えて
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16K05185
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| Research Institution | Nagoya Keizai University |
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Principal Investigator |
下村 尚司 名古屋経済大学, 経済学部, 准教授 (30440770)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 零次元系 / Bratteli-Vershik model / topological rank / topological chaos |
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| Outline of Annual Research Achievements |
申請者の見出した有限グラフ被覆系(以下，被覆系と言う) により零次元力学系を研究することが大きな目的である。これはC*環論との関係の深いBratteli-Vershik 系を，自然な形で含んでいる．Bratteli-Vershik 系の豊かな先行研究群を、被覆系を用いることにより、同相極小系以外にも拡張することが主眼である。極小零次元系で同相とは限らない場合には、Gambaudo-Martensによる方法(GM系と略す)がある。
今回の申請では初年度に於いて、有限ランクGM系の自然拡大のランクを研究することが課題のひとつであり、有限ランク極小零次元系の位相的ランクは、その自然拡大をとることによって、増加しないという事実を証明した。この結果を含む論文は、Kyushu Journal of Mathematics に投稿し、受理されている。 もうひとつの課題は、事例構成面に於いて、「被覆系について自然な」Li-Yorke カオス系を構成し、その性質を調べることであった。今年度の研究によって、位相的ランク２の proximal な零次元系が、自明な場合を除き、Gδかつ稠密な scrambled 集合を持つ記号力学系として表現できることを示すことができた。 これら2つの成果によって、28年度の課題は一応の解決を得たと考える。ただし、2つめの結果を含む論文は、投稿が完了した段階である。
その他平成２７年度末から平成２８年度中程までに、課題に深く関連するBratteli-Vershik 系について、重要な結果を2つ得ることができた。
(1)全ての同相的零次元系が非自明なBratteli-Vershik表現を持つことを証明した。周期点を含まない同相的零次元系に於いて、先行研究があった。
(2)有限ランク同相的零次元系が、無限 odometer を含まないとき、拡大的であることを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究は、有限グラフ被覆系を用いて、Bratteli-Vershik modelによる広範な先行研究群を拡張することである。平成28年度中頃に於いて、計画していた２つの課題について、どちらも一応の解決を得たと考えている。ひとつは、有限ランクGambaudo-Martens系について、その位相的ランクが、自然拡大をとることによって、増加しないことを示した結果である。もうひとつは、位相的ランク２の同相的 proximal な零次元系が、自明な場合を除き、Gδかつ稠密な scrambled 集合を持つ記号力学系として表現できること示した結果である。
さらに、この研究課題の背景にある Bratteli-Vershik 系について、概括的な結果を２つ得たことがある。ひとつは、全ての同相的零次元系が非自明なBratteli-Vershik model を持つことを示したことである。もうひとつは、有限ランク零次元同相系が無限 odometer を持たない場合、記号力学系として表現できることを示したことである。
平成28年度に於いて、課題として計画していた、2つの目的に一応の解決を得たこと、および、この研究の背景にあるBratteli-Vershik系について概括的な結果を2つ得たことにより、以上の区分としたいと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
予定どおり、平成29年度には、同相とは限らない零次元極小系に於ける組み合わせ論的方法であるGambaudo-Martens 系によって、極小代入力学系を表現することを目的とする。先行研究に於いては、同相的極小系の場合に部分的な結果があり、さらにこの結果は周期点を持たない系に拡張されている。
ところが、平成28年半ばまでに、同相的零次元系は全てBratteli-Vershik model を持つことを自ら示すことが出来ている。この成果により、代入力学系の研究が、同相的であっても周期点を持つ場合へ、拡張する必然性が予見されることとなったと考える。課題研究の流れとしては、Gambaudo-Martens 系への拡張のみならず、周期点を持つ同相的代入力学系への拡張もまた自然であると考える。ただし、この方向での概括的な拡張は、とても広範なものであるため、非常に困難であると思われ、これについて準備的であるにせよ作業を進めることは、非常に限定的にならざるを得ないと思われる。
被覆系によるカオス的事例構築面に於いても、平成28年度の成果を踏まえ、一層の研究を進めたいと考えている。
更に平成３０年度には、C*環論との関連の研究も進め、同相でない極小零次元系における、角谷同型を、考察する予定である。
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| Causes of Carryover |
2016年度末に、科研費課題との深い関連で、遠方の研究者お二人に講演を依頼した。名古屋大学の力学系セミナーに招待したが、その費用が多額にのぼると予想された。そのため、新たな論文のダウンロード費用や書籍の購入費用および他の研究集会への出席の為の旅費が不足する可能性が高くなった。
しかし実際には、既に投稿していた論文のrevision の作業に、多くの労力が必要になった。このrevision作業について、新規の研究が必要になったが、新たな論文のダウンロードや著書の購入はそれほど必要とはならなかった。よって、予定していた資金が残る事になった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016年度末に始まった revision の作業は、2017年度4月末には終了する予定である。そのため、2017年5月ほどから、新規の論文ダウンロードや書籍の購入が再び必要になると思われる。また、2017年度には、昨年度開催の無かった、Workshop on Measurable and Topological Dynamical Systems が開催される可能性がある。このWorkshopは日本で開催されるとは限らないため、大きな費用が必要になる可能性が高くなる。
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