2016 Fiscal Year Research-status Report
1次元及び高次元複素力学系における implosion の理論とその応用
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16K05213
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| Research Institution | Tokyo Polytechnic University |
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Principal Investigator |
中根 静男 東京工芸大学, 工学部, 教授 (50172359)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | サドル不動点 / implosion / fiber Julia 集合 / Lavaurs 写像 / critical portrait / stretching rays |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. サドル不動点でのヤコビ行列の固有値が 0 でない場合には、ほとんどすべての写像に対して線形化座標が存在すること、この座標で考えることにより、写像の high iterates が Lavaurs 写像に収束すること、Lavaurs 写像を用いて fiber Julia-Lavaurs 集合を定義して、fiber Julia 集合が fiber Julia-Lavaurs 集合に集積することを示した。さらに、2次写像の場合に fiber Julia-Lavaurs 集合のトポロジーを解明した。これらの結果をまとめて、連携研究者の稲生啓行氏との共著論文を完成して投稿した。この理論のおかげで fiber Julia 集合の base Julia 集合の付近での挙動、特にその不連続性が説明できるようになった。また、放物的な力学系とはまったく無関係なところにも parabolic implosion と類似の現象が存在することが立証された。
2. Critical portrait がある性質を満たせば、その critical portrait を持つような locus 上 stretching rays が parabolic locus に集積することを示した。このとき、stretching ray が着地したとして、着地点が parabolic locus の原点でなければ、critical orbit relation が存在することを証明した。Critical portrait がさらに別の条件を満たせば、capture components か adjacent components に集積することも示した。その結果、着地しない stretching rays が多数存在することが確認された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1. サドル不動点でのヤコビ行列の固有値が 0 でない場合には、連携研究者の稲生啓行氏との共同研究により、implosion の理論を完成して論文にまとめ投稿することができた。固有値のひとつが 0 になる場合については、標準形を求めるという問題に端緒的な結果を得ることができ、解決の方向が見えてきた。
2. Stretching rays の着地性については、研究協力者の Pascale Roesch とのメールでのやりとりにより、この間に得られた結果を整理し、新たな結果を得ることができた。その結果について、Pascale Roesch がカンクンでの研究集会で招待講演を行うことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. サドル不動点でのヤコビ行列の固有値の一つが 0 の場合、つまりスーパーサドルの場合を考察する。そのためには、標準形を求める必要がある。Ruggiero は rigid な場合に形式的共役写像による標準形を与える一方、形式的共役写像が収束しない例を挙げている。つまり、この標準形が一般的には双正則共役写像による標準形にはならないのである。そこで、この標準形への形式的共役写像が正則になるかどうかを考察する。Ruggiero は rigid なスーパーサドル不動点を3個のタイプに分類した。筆者はその中のひとつのタイプの場合に、正則になるための特徴づけを与えた。そこで、今後は他のタイプの場合を考察する。
2. Stretching rays が parabolic locus に集積する場合に、adjacent component に集積する場合と capture component に集積する場合がある。どちらに集積するかを critical portrait の性質で特徴付ける。また、parabolic locus の原点には着地しないことを証明する。そのためには、退化した放物的不動点での parabolic implosion を考察する必要がある。
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| Causes of Carryover |
1. 海外出張において、滞在費を主催者が負担してくれたために、支出が当初の予定より少なくてすんだ。
2. 3月下旬に行った国内出張により発生した旅費は次年度使用額から支出することになった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
1. 本研究においては、コンピュータによる数値実験が非常に有効である。そこで、次年度使用額を用いて、高性能のパーソナルコンピュータを購入する。
2. 研究協力者の Pascale Roesch と共同研究を行う。また、高次元複素力学系の研究集会に出席して、正則写像芽の標準化の専門家たちと研究打ち合わせを行う。そのために海外出張を2回行う。また、連携研究者の稲生啓行氏と討論するため、そして複素力学系を含む力学系の国内研究集会に出席して研究打ち合わせを行うために国内出張を4回ほど行う。
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