2017 Fiscal Year Research-status Report
1次元及び高次元複素力学系における implosion の理論とその応用
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16K05213
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| Research Institution | Tokyo Polytechnic University |
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Principal Investigator |
中根 静男 東京工芸大学, 工学部, 教授 (50172359)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | サドル不動点 / Lavaurs map / fiber Julia 集合 / fiber Julia-Lavaurs 集合 / スーパーサドル / fiber filled Julia 集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. サドル不動点でのヤコビ行列の固有値が 0 でない場合には、Lavaurs map への収束、fiber Julia 集合の下極限が fiber Julia-Lavaurs 集合を含むこと、2次写像の場合は fiber Julia 集合が fiber Julia-Lavaurs 集合に収束すること及び 2次写像の場合の fiber Julia-Lavaurs 集合のトポロジーについて、連携研究者の稲生啓行氏との共著論文にまとめ、雑誌への掲載が決定した。
2. さらに、サドル不動点でのヤコビ行列の固有値が 0 になる、スーパーサドルの場合について考察した。Outgoing サドル不動点がスーパーサドルの場合は、写像がそのサドル不動点において rigid になる。その場合は形式的な標準形が知られているので、標準形への形式的共役が収束するかどうかを調べた。そして、ほとんどの場合、収束しないことを証明した。収束する場合は、この標準形を用いることにより、上で述べた、固有値が 0 でない場合と同様の結果を示すことができた。収束しない場合は標準形が使えないので現時点では未解決である。
Incoming サドル不動点がスーパーサドルの場合は、写像がそのサドル不動点で rigid でないこと、Lavaurs map は恒等的に 0 となることを証明した。すると fiber Julia-Lavaurs 集合は incoming サドル不動点の安定集合の閉包と一致する。そして、fiber Julia 集合の下極限がfiber Julia-Lavaurs 集合を含むこと、2次写像の場合は fiber Julia 集合が fiber filled Julia 集合に収束することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1. サドル不動点での固有値が 0 でない場合の結果をまとめた論文の雑誌掲載が決定した。
2. Incoming サドル不動点がスーパーサドルの場合には、当初の予想に反して、標準形を用いることなしに fiber Julia 集合の集積について自然な結果を得ることができた。特に2次の場合に、fiber Julia 集合が fiber filled Julia 集合に収束することを示すことができたが、それは本研究の当初の目標であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 次数が 3 以上の場合でも fiber Julia 集合が fiber Julia-Lavaurs 集合に収束することは数値実験でしばしば観察されている。そこで、一般の次数の場合に、自然な仮定の下で、この収束を示す。
2. Outgoing サドル不動点がスーパーサドルの場合、標準形への形式的共役が収束しない場合はその標準形は使えない。しかし、この場合でも数値実験からは固有値が 0 でない場合と同じ結果になることが予想される。Romain Dujardin 氏の、標準形を使わずに証明したらどうかという助言に従って、直接証明することをめざす。その際、標準形を用いた場合の証明において何が真に必要であったかを考察する。
3. 連携研究者の稲生啓行氏や 今年度に来日した Fabrizio Bianchi 氏との討論は、上記の結果を得る上で非常に有益だった。今後も彼らと討論するために、国内出張や海外出張を行う。
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| Causes of Carryover |
1. オスロへの出張では宿泊費を主催者が負担してくれたために、支出が予定より少なくて済んだ。
2. 次年度は今年度に比べて直接経費が10万円減る一方で、8月にリオデジャネイロで開催される国際数学者会議に参加して発表を行うために、まとまった海外旅費が必要になる。そのために、今年度配分額の一部を次年度に繰り越すことにした。次年度使用額は、次年度の助成金と合わせてこの海外旅費に充てる予定である。
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